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소수 계산기
그 숫자가 소수인지 아닌지 어떻게 아나요? 수학에서 소수란, 1보다 큰 자연수 들 중에서 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 수를 가리키는 말이다. 계산기 사용법은 …
Source: ko.calcuworld.com
Date Published: 8/5/2022
View: 9236
서로소 뜻, 소인수분해 이용하여 최대공약수 구하는 방법
둘 이상의 자연수의 공통인 약수를 공약수라고 하며, 최대공약수는 공약수 중에서 가장 큰 수입니다. 그렇다면 두 수의 공약수가 1뿐인 경우 당연히 …
Source: susuni11.tistory.com
Date Published: 2/22/2022
View: 3253
서로소
01. 서로소를 시작하며… 약수와 배수 부분에서 이번 시간에는 서로소와 관련된 부분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 열심히 수학을 공부하는 분들 …
Source: j1w2k3.tistory.com
Date Published: 10/27/2021
View: 2409
서로소 개수 구하는 거 – 인스티즈(instiz) 익스터디 카테고리
만약에 100의 서로소의 개수를 구하라 하면 100이 2x2x5x5라서 100 – {2의 배수(50개) + 5의 배수(20개) – 10의 배수(10개)}해서 40개잖아그러면 만약에 180의 서로소 …
Source: www.instiz.net
Date Published: 9/29/2022
View: 8109
서로소 개수 공식 오일러 파이함수 원리와 증명 : 네이버 블로그
약수 개수 공식과 달리. 서로소 개수 공식은. 어렵기 때문에 고등학교 때 다루지 않는다. . 서로소 라는 말뜻도 까다롭고. 공식이 성립하는 것을.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 1/30/2022
View: 5835
[문제 풀이] 주어진 범위 내에 존재하는 서로소 개수 구하기
범위를 입력받고, 해당 범위에 존재하는 서로소 쌍의 개수를 구하는 프로그램 작성. 이때 (A, B)와 (B, A)는 같은 것으로 간주한다. “.
Source: hyunsitstory.tistory.com
Date Published: 9/15/2021
View: 1114
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- Author: EBS Learning
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- Date Published: 2019. 10. 10.
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소수 계산기
소수 계산기를 사용하여 그 숫자가 소수인지 아닌지 알아보세요.
숫자를 입력하세요:
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[was-this-helpful]소수 계산기를 사용하여 그 숫자가 소수인지 아닌지 알아보세요.
그 숫자가 소수인지 아닌지 어떻게 아나요?
수학에서 소수란, 1보다 큰 자연수 들 중에서 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 수를 가리키는 말이다. 계산기 사용법은 매우 간단합니다. 당신이 알기 원하는 숫자를 입력하고 계산하기 버튼을 클릭하세요. 바로 그 숫자가 소수인지 아닌지 결과를 확인할 수 있습니다.
소수 리스트
무한한 소수가 있습니다. 아래에 168개의 소수가 정리되어 있습니다. ( 1000 이하의 소수들) :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
서로소 뜻, 소인수분해 이용하여 최대공약수 구하는 방법
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둘 이상의 자연수의 공통인 약수를 공약수라고 하며, 최대공약수는 공약수 중에서 가장 큰 수입니다.
그렇다면 두 수의 공약수가 1뿐인 경우 당연히 두 수의 최대공약수는 1이 되겠죠?
이와 같이 두 수의 공약수가 1뿐일 때(두 수의 최대공약수가 1일 때) 두 자연수를 서로소라고 합니다.
예를 들어 3과 4에 대하여 3의 약수는 1, 3이고 4의 약수는 1, 2, 4이므로 공약수가 1뿐이므로 3과 4는 서로소이며,
8과 9에 대하여 8의 약수는 1, 2, 4, 8이고 9의 약수는 1, 3, 9이므로 공약수가 1뿐이므로 8과 9는 서로소입니다.
6과 14에 대해서는 6의 약수는 1, 2, 3, 6이고 14의 약수는 1, 2, 7, 14이므로 공약수는 1, 2입니다.
즉 1을 제외한 공약수가 존재하기 때문에(최대공약수가 1이 아니기 때문에) 6과 14는 서로소가 아닙니다.
초등학교 때 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 배웠습니다.
예를 들어 40과 100의 최대공약수를 구할 때,
최대공약수의 개념에 따라 40의 약수( 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 )와 100의 약수( 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 )를 나열한 후,
40과 100의 공약수( 1, 2, 4, 5, 10, 20 )를 찾은 다음 공약수 중에 가장 큰 수인 20을 찾을 수도 있고,
두 수의 공약수로 나누는 방법을 이용하여 몫의 공약수가 1뿐일 때까지 반복적인 나눗셈 과정을 통하여 을 구할 수 있습니다.
이제 최대공약수를 구하는 다른 방법을 알아보도록 해요.
소인수분해를 이용하여 최대공약수 구하기
소인수분해를 이용하여 최대공약수를 구하는 방법은
두 수를 각각 소인수분해하여 거듭제곱으로 나타낸 후,
공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 지수가 작은 것을 택하여 모두 곱하는 것입니다.
예 1) 84와 196의 최대공약수는?
① 각각의 수를 소인수분해하기.
소인수분해는 곱셈, 나눗셈, 가지치기(수형도) 방법 중에 자신이 편한 것을 택해서 하면 됩니다.
[이전 글 보기] – 거듭제곱, 소인수분해 방법, 약수와 약수의 개수 구하기이므로 84를 소인수분해하면 이고,
이므로 196을 소인수분해하면 입니다.
② 소인수분해한 결과는 공통인 소인수는 같은 줄에 맞추고, 공통인 소인수가 없는 경우는 빈 공간으로 놔두기.
③ 공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 작은 것을 택하기.
예 2) 40과 100의 최대공약수는?
① 각각의 수를 소인수분해하기.
40=4×10
=2×2×2×5
이므로 40을 소인수분해하면 이고,
100=10×10
=2×5×2×5
이므로 100을 소인수분해하면 입니다.
② 소인수분해한 결과는 공통인 소인수는 같은 줄에 맞추고, 공통인 소인수가 없는 경우는 빈 공간으로 놔두기.
③ 공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 작은 것을 택하기.
생각해보면, 최대공약수는 공약수 중에 가장 큰 수이므로 두 수를 소인수분해한 결과에서도 이를 적용해야겠죠?
공약수이니까 공통인 소인수는 당연히 포함해야 할 것이고, 공약수 중에 가장 큰 수를 찾으려면 공통인 수를 최대한으로 뽑아내야해요.
위의 40과 100에서 공통인 수는 2가 두 개, 5가 한 개 있으므로 최대공약수는 이라고 할 수 있는거죠.
그러므로 지수를 비교해서 지수가 같을 때는 그대로, 지수가 다를 때는 지수가 작은 것을 택해야 합니다.
오개념 체크)
최대공약수의 최대라는 의미때문에 지수가 큰 것을 택해야한다고 착각하는 경우가 있는데,
위의 과 이 공약수가 아닌 것처럼 지수가 큰 것은 공약수가 아닙니다.
마찬가지로 공통이 아닌 소인수의 거듭제곱은 공약수가 아니므로 생각할 필요가 없어요.
즉 위의 예 1)에서 84의 소인수 3은 84와 196의 공약수가 아니므로 택하지 않습니다.
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서로소 :: winner
01. 서로소를 시작하며…
약수와 배수 부분에서 이번 시간에는 서로소와 관련된 부분에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.
02. 서로소의 정의 03. 서로소와 관련된 정리 증명
여기까지지가 winner의 설명입니다.
ps. winner 앱 출시 << 클릭
서로소 개수 구하는 거
100이 2x2x5x5라서 100 – {2의 배수(50개) + 5의 배수(20개) – 10의 배수(10개)}해서 40개잖아 그러면 만약에 180의 서로소 개수를 구한다하면 180이 2x2x3x3x5니까 180 – {2의 배수(90개) + 3의 배수(60개) + 5의 배수(36개) – 6의 배수(30개) – 15의 배수(12개) – 10의 배수(18개)} 이건가?? 5 ••• 만약에 100의 서로소의 개수를 구하라 하면100이 2x2x5x5라서100 – {2의 배수(50개) + 5의 배수(20개) – 10의 배수(10개)}해서 40개잖아그러면 만약에 180의 서로소 개수를 구한다하면180이 2x2x3x3x5니까180 – {2의 배수(90개) + 3의 배수(60개) + 5의 배수(36개) – 6의 배수(30개) – 15의 배수(12개) – 10의 배수(18개)} 이건가??
서로소 개수 공식 오일러 파이함수 원리와 증명
어떤 수가
31752와 서로소라는 뜻은
어떤 수를 소인수분해했을 때
31752를 소인수분해했을 때 나오는
원소를 하나도 포함하지 않는다는
뜻이다
약간 알기 쉽게 말하면
어떤 수와
31752는 서로 약분되지 않는다
가장 알기 쉬운 말로 하자면
어떤 수와 31752는
털끝만큼의 공통점도 없다는 뜻이다
[문제 풀이] 주어진 범위 내에 존재하는 서로소 개수 구하기
” 범위를 입력받고, 해당 범위에 존재하는 서로소 쌍의 개수를 구하는 프로그램 작성
이때 (A, B)와 (B, A)는 같은 것으로 간주한다. ”
위 문제에 대해 3가지의 방법으로 코드를 만들어보았다.
3가지 코드를 쉽게 비교하기 위해 ‘범위를 입력받고 프로그램 실행하고 결과를 출력하는 것’은
main함수에 포함시켜 main부분은 모두 같게 만들어준다.
실제 서로수의 개수를 구하는 코드는 coprime함수로 작성하고,
main함수에서 coprime 함수를 실행하기 위해 main함수 앞에 coprime함수를 먼저 선언해준다.
각각의 방법에서 추가로 만든 이 외의 함수 또한 main함수 앞에 모두 선언하고 시작한다.
▶ 서로소? 임의의 두 정수에 대해, 두 수의 공약수가 1만 존재하는 수
< main 함수 >
– 범위 입력받고 결과 출력
Algorithm 1.
2부터 (범위의 끝 값 /2)까지 모든 수 중에
두 정수 A, B가 동시에 나누어 떨어지는 수가 있다면 count하지 않고
두 정수 A, B가 동시에 나누어 떨어지는 수가 없다면 count++
< Result >
시간이 가장 오래 걸리는 반면, 두 수 모두 작은 수부터 큰 수까지 하나씩 비교해 나가기 때문에
출력되는 서로소 쌍의 순서도 작은 값부터 큰 값까지 차례로 출력됨
▶ 유클리드 호제법: 두 수의 최대공약수를 구하는 알고리즘
출처: https://namu.wiki/w/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C%20%ED%98%B8%EC%A0%9C%EB%B2%95 (나무위키)
더보기 유클리드 호제법 예시 (나머지 연산 이용) x=252, y=105 ① z = x % y = 252 % 105 = 42(결과 x=105, y=42) ② z = x % y = 105 % 42= 21(결과 x=42, y=21) ③ z = x % y = 42 % 21= 0(결과 x=21, y=0) => 나머지가 0이면 *제수의 값이 최대공약수이다 ( *제수: 나눗셈에서 어떤 수를 나누는 수 )
Algorithm 2.
‘어떤 두 수의 최대공약수가 1이면 두 수는 공약수’임을 이용
정수 A는 범위의 시작부터 A++, 정수 B는 범위의 끝부터 B–
최대공약수가 1이면 count++, B가 A보다 작아지면 반복문 종료
< Result >
‘유클리드 호제법 이용 + 범위를 반으로 나누어 비교’하였기 때문에 시간 단축
A는 작은 수부터 큰 수로 비교해 나가고 B는 큰 수부터 작은 수로 비교해나갔기 때문에
(A, B)에서 A의 값은 작은 수부터 큰 수로 출력되었고 B는 큰 수부터 작은 수로 출력된 것을 확인 가능
Algorithm 3.
값의 범위를 반으로 나누어서 작은 값의 범위와 큰 값의 범위를 비교
순환 호출을 이용해 각각의 부분을 다시 나누어서 서로 비교
최대공약수가 1이면 count ++
< Result >
‘유클리드 호제법 이용 + 범위를 반으로 나누어가며 비교’하였기 때문에 시간 단축
범위를 반으로 나누어 서로소를 구하고, 각각의 조각을 또 반으로 나누어 구하는 과정을 반복했기 때문에
출력된 서로소 쌍의 순서는 뒤죽박죽임
실행 시간의 차이 – 효율성 문제
작은 범위에서 값을 구할 때는 시간의 차이가 크게 없지만,
구하고자 하는 범위가 커지면 실행 시간에 큰 차이가 생긴다.
범위가 커지면 출력되는 서로소가 너무 많기 때문에 서로소를 출력하는 부분은 제외하고 개수만 출력한다.
Algorithm 1.
Algorithm 2.
Algorithm 3.
Self – feedback
처음 내가 작성했던 코드는 algorithm 1이었는데,
풀어야 했던 문제인 1000부터 5000을 넣었을 때 그 값이 너무 크게 나와서 당연히 내가 틀린 줄 알고
다른 사람들에게 물어보고 다른 방법을 계속 찾아봤는데 알고 보니 그것도 맞는 코드였다..!
작은 숫자를 넣어서 테스트해보면 될 거라는 생각을 했더라면 이렇게까지 돌고 돌아서 풀진 않았을 텐데..
하지만 for문이 3번이나 중첩되면서 실행시간이 너무 오래 걸렸기 때문에
범위가 작을 때는 괜찮지만 범위가 커진다면 수정이 필요한 코드이긴 했다!
교수님이 알려주신 유클리드 호제법 알고리즘을 이용하면 그 시간을 단축할 수 있었다.
문제는 여기서 쉽게 풀 수 있는 걸 어렵게 생각하느라 돌고 돌아 생각해 낸 방법이 algorithm 3이었다.
결론부터 말하자면 algorithm 3 방법에서 굳이 divide를 순환 호출할 필요는 없었다..
처음에 풀었던 algorithm 1이 틀린 코드는 아니었다는 것을 알았다면
굳이 이렇게 재귀 함수를 통해서 풀 생각까지는 안 했을 텐데…
만일 숫자가 더 커졌을 때 algorithm 3이 algorithm 2보다 더 시간적 효율이 좋다면 더 좋은 코드이겠지만
2부터 10000까지의 범위를 입력했을 때 두 알고리즘의 실행 시간도 비슷했다.
아마도 두 알고리즘 다 for문을 2번 이용했다는 점과 비교하는 횟수가 똑같기 때문일 테지.
같은 맥락으로 만일 algorithm 1도 ‘for ( idx = 2; idx <= end/2 ; idx++)'를 빼고 cd(a, b)를 이용한다면 algorithm 2, 3의 실행시간을 가지게 된다. 이렇게 되면 algorithm 1도 마찬가지로 for문은 2개만 가지고 비교 횟수가 다른 함수들과 같아지기 때문이다. 비교 횟수가 같아진다는 것을 algorithm 2와 비교하여 예로 들면 아래와 같이 비교하는 방향이 다를 뿐 비교하는 횟수는 같다. Algorithm 2 더보기 A= 100, B= 500 일 때 A= 100일 때 B= 500~101 비교 A= 101일 때 B= 500~102 비교 . . A= 300일 때 B= 500~301 비교 . . A= 498일 때 B= 500, 499 비교 A= 499일 때 B= 500 비교 반복문 종료 Algorithm 1 더보기 A= 100, B= 500 일 때 A= 100일 때 B= 101~500 비교 A= 101일 때 B= 103~500 비교 . . A= 300일 때 B= 301~500 비교 . . A= 498일 때 B= 499, 500 비교 A= 499일 때 B= 500 비교 반복문 종료 Algorithm 3 또한 divide를 순환 호출하지 않고 count_num 함수 안에 다음과 같이 작성한다면 정상적으로 실행되고 위의 algorithm 1, 3과 같은 실행 횟수를 가지게 될 것이다. 더보기 int mid=0; for ( A= start; A <= mid; A++){ for ( B= mid+1; B <= end; B++){ if ( gcd(B, A) == 1 ){ cnt++; } } return cnt; } 결국 main함수뿐 아니라 coprime의 코드/ 실행 원리도 똑같고 두 정수의 범위를 어떻게 지정해주느냐만 달라지는 것이다. 이렇게 보면 크게 어렵지 않은 문제를 한참을 붙잡고 이렇게 돌고 돌아 답을 낸 것은 아직 코딩에 익숙하지 않아 실력이 부족하고 여러 노하우가 없기 때문이겠지 하지만 이번 문제 풀이를 통해서 새로운 것도 배우고 깨달았다! 1. 코드가 맞는지 확인해보고 싶을 때는, 쉽게 구할 수 있는 작은 값을 넣어서 테스트해보기 2. /* code */ -> 해당 코드 무시
3. algorithm 3의 경우 divide를 순환 호출하면서 count 하려면 main 앞에 전역 변수로 선언하여 모든 함수에서 유효하도록 한다
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