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모집단에서 평균을 나타내는 기호는 μ (mu 라고 읽는다) 이다.
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표면 거칠기와 다듬질 기호
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평균 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
예를 들면 코시 분포 같은 것이 있다. 데이타에대한 n개의 집합에서 평균을 구하는 다양한 방법을 살펴볼 수 있다. 여기서 사용한 기호는 수학기호표를 참고할 수 있다 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 3/9/2022
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통계 기본 용어 (평균, 분산, 공분산, 표준편차) 및 관련 함수
1. 평균. μ = E(X); μ : 뮤로 읽음; 계산기에서는 mean(), 엑셀에서는 average() 함수 사용; 표본의 평균은 · 2. (공) 분산. 분산 σ² (시그마 제곱) σ² = …
Source: allcalc.org
Date Published: 9/5/2022
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평균 – 나무위키:대문
모든 변량이 양수라는 전제하에 산술 평균 ≥ 기하 평균 ≥ 조화 평균이 성립 … 보통 평균과 비교되는 중간값, 최빈값과 비교하면 극단적인 값에 더 …
Source: namu.wiki
Date Published: 11/24/2022
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[통계분석] 통계기초 – 수학기호&통계기호
통계에서 기대값은 평균과 같다고 생각하면 된다. 가능한 값마다 확률을 곱해서 모두 더한 것이다. 확률변수 X의 평균으로 보통E(x)라고 쓴다. exp( …
Source: paper-garden.tistory.com
Date Published: 6/14/2021
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01-3 시그마와 평균 : 합의 기호 ∑와 평균 그리고 연산
그럼 이제 통계적 기법들을 위한 방법을 배워볼까? 아참, 이제부터는 구글 스프레드시트를 활용하면서 본격적으로 시작해 볼게! 먼저 합의 기호를 배울 …
Source: kimhaksung.tistory.com
Date Published: 6/23/2021
View: 1081
기댓값과 표본평균 – SLOG
그러나 세 기호 모두 사실 다른 개념이다. … 분포를 가지는 확률변수의 기댓값 또는 평균(mean)을 나타내는 값이 E(X) E ( X ) 이다.
Source: be-favorite.tistory.com
Date Published: 10/20/2021
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수학 공식 | 고등학교 > 표본평균의 분포 – MATH FACTORY
… 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라 하고, 각각 기호로 $ m $, $ \sigma^2 $, $ \sigma $와 같이 나타낸다. 표본평균, 표본분산, …
Source: www.mathfactory.net
Date Published: 6/10/2022
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주제에 대한 기사 평가 평균 기호
- Author: 한국직업방송
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- Date Published: 2016. 6. 20.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
평균(平均)은 통계학에서 두 가지 서로 연관된 뜻이 있다.
한편 역수의 산술평균의 역수를 조화 평균이라 한다.
평균은 통계학뿐만 아니라 기하학이나 해석학에서도 쓰인다. 이러한 맥락에서 통계학에서는 그 목적에 맞는 다양한 평균들이 고안되었다.
표본 평균은 모평균 같은 중심경향치(center tendency)에 대한 추정량으로 자주 쓰인다. 그러나 중심경향치(center tendency)의 다른 추정량이 쓰이기도 한다.
실수값을 갖는 확률 변수 X에 대해서, 평균은 X의 기댓값이 된다. 기댓값이 존재하지 않는다면 그 확률 변수에는 평균이 없다.
자료 집합에 대한 평균은 단순히 모든 관측값을 더해서 관측값 개수로 나눈 것이다. 일단 자료 집합의 공통성을 이렇게 설명하기로 하면, 관측값이 어떻게 다른지 설명하는 데는 보통 표준편차를 쓴다. 표준편차는 편차들(deviations)의 제곱합(SS)을 평균한 값의 제곱근이다.
평균은 편차 제곱의 합이 최소가 되는 유일한 값이다. 중심경향치(center tendency)을 평균이 아닌 다른 방식으로 측정하는 경우, 편차 제곱의 합을 구해 보면, 평균을 썼을 때 구한 값보다 크다. 이는 왜 통계 보고서에서 보통 평균과 표준편차를 인용하는지를 설명해 준다.
퍼진 정도에 대한 다른 측도로는 평균 편차가 있다. 이것은 (평균에 대한) 절대 편차를 평균한 것과 같다. 평균 편차는 바깥값에 덜 민감하지만, 자료 집합을 합칠 때 다루기 어렵다.
모든 확률 분포가 평균이나 분산으로만 정의되지는 않는다는 점을 주의할 수 있다. 예를 들면 코시 분포 같은 것이 있다.
데이타에대한 n개의 집합에서 평균을 구하는 다양한 방법을 살펴볼 수 있다. 여기서 사용한 기호는 수학기호표를 참고할 수 있다.
여러 가지 평균 [ 편집 ]
산술 평균 [ 편집 ]
산술 평균은 가장 널리 쓰이며, 일반적으로 “평균”이라고도 한다.
x ¯ = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}
산술평균은 중앙값이나 최빈값과 종종 혼동되곤 한다. 이 평균은 값들이나 분포의 산술적인 평균을 의미하며 기울어진 분포에 대해서는 중앙값이나 최빈값과 보통 다르다. 예를 들어 평균 수입의 경우 적은 수의 사람이 매우 큰 수입을 갖고 따라서 평균 이하의 사람 수가 더 많다. 하지만 중앙값의 경우 정확히 반은 더 큰 수입을 갖고 나머지 반은 더 작은 수입을 갖는다. 최빈값의 경우에는 가장 많이 나타나는 값을 말하므로 수입이 적은 쪽에 가깝다(수입이 적은 사람이 많으므로). 중앙값과 최빈값은 종종 데이터에 대한 직관적인 척도가 된다.
지수 분포나 푸아송 분포 등의 많은 기울어진 분포는 평균을 통해 그 성질을 알 수 있다.
기하 평균 [ 편집 ]
기하 평균은 합이 아닌 곱이 쓰이는 경우에 평균으로 이용된다.
x ¯ = ∏ i = 1 n x i n {\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}}
예를 들어 여섯 숫자 34, 27, 45, 55, 22, 34의 기하 평균은 (34×27×45×55×22×34)1/6 = 1,699,493,4001/6 ≈ 34.545가 된다.
조화 평균 [ 편집 ]
조화 평균은 역수의 산술 평균의 역수로 정의되며, 속력처럼 상대적인 비를 갖는 단위의 평균을 계산하는 데 유용하다.
x ¯ = n ∑ i = 1 n 1 x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}
예제 [ 편집 ]
한 실험이 얻은 데이터 34, 27, 45, 55, 22, 34의 조화평균을 얻으려면,
데이터의 역수들의 합은 0.181719152307이다. 1.의 역수를 구하면 5.50299727522이다. 2.에 데이터의 수 6을 곱하면 조화평균 33.0179836513을 얻는다.
일반화된 평균 [ 편집 ]
멱평균 [ 편집 ]
일반화된 평균은 이차, 산술, 기하, 조화 평균을 추상화한 것으로 멱평균이나 횔더 평균이라고도 한다. 다음과 같이 정의한다.
x ¯ ( m ) = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n x i m m {\displaystyle {\bar {x}}(m)={\sqrt[{m}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}}}}
m에 대한 적절한 값을 고르면 다음을 얻을 수 있다.
f-평균을 더 일반화한 것이 일반화된 f-평균이다.
x ¯ = f − 1 ( 1 n ⋅ ∑ i = 1 n f ( x i ) ) {\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}
가역함수 f {\displaystyle f} 를 적절히 선택하면 다음을 얻는다.
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} 산술 평균
산술 평균 f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} 조화 평균
조화 평균 f ( x ) = x m {\displaystyle f(x)=x^{m}} 멱평균
멱평균 f ( x ) = ln x {\displaystyle f(x)=\ln x} 기하 평균
가중 산술 평균 [ 편집 ]
가중 산술 평균은 같은 모집단에서 표본을 서로 다른 개수로 뽑을 때 평균값을 구하려고 쓴다.
x ¯ = ∑ i = 1 n w i ⋅ x i ∑ i = 1 n w i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}
가중치 w i {\displaystyle w_{i}} 는 부분 표본에 대한 한계(bound)를 나타낸다. 다른 응용에서는 각 표본이 평균에 미치는 영향을 잰다.
절단평균 [ 편집 ]
가끔 너무 큰 값이나 너무 작은 값이 들어있는 등 부정확한 값에 의해 자료가 오염될 수 있다. 이럴 때 절단평균을 사용한다. 이 평균은 데이터에서 가장 큰 값이나 작은 값 쪽을 “잘라내고” 산술평균을 낸 것을 의미한다. 일반적으로 잘라내는 양쪽 범위는 같게 한다. 잘라낸 값의 숫자는 전체 자료 수에 대한 백분율로 표시한다.
사분평균 [ 편집 ]
사분평균은 절단평균의 한 예로, 아래 1/4, 위 1/4을 잘라내고 산술평균을 구한 것을 의미한다. 자료들이 정렬되어 있다고 할 때, 사분평균은
x ¯ = 2 n ∑ i = ( n / 4 ) + 1 3 n / 4 x i {\displaystyle {\bar {x}}={2 \over n}\sum _{i=(n/4)+1}^{3n/4}{x_{i}}}
이 된다.
함수의 평균 [ 편집 ]
미적분학, 특히 다변수 미적분학에서 함수의 평균은 덜 엄밀하게, 정의역에서 함수값을 평균한 것으로 정의한다. 일변수에서 구간 (a,b)에서 정의된 함수 f(x)의 평균은
f ¯ = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.}
로 정의한다(평균값 정리 참조). 다변수의 경우 유클리드 공간에 대해 컴팩트한 정의역 U에서 평균은
f ¯ = 1 Vol ( U ) ∫ U f . {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f.}
로 정의한다.
이것은 산술 평균의 일반화가 되며, 또한 f에 대한 기하 평균을
exp ( 1 Vol ( U ) ∫ U log f ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f\right)}
로 일반화할 수 있다.
다양한 평균들 [ 편집 ]
특성 [ 편집 ]
몇몇 예를 빼고는 여러 평균 사이에 연관성이 없어 보인다. 하지만 많은 평균들은 서로 성질을 공유하는데 그 성질을 통해 평균을 다시 정의해보고자 한다.
가중 평균 [ 편집 ]
가중 평균 M은 양수의 순서쌍을 양수로 보내는 사상( R > 0 n → R > 0 {\displaystyle \mathbb {R} _{>0}^{n}\to \mathbb {R} _{>0}} )이며 다음 성질을 만족한다.
고정점 : M ( 1 , 1 , ⋯ , 1 ) = 1 {\displaystyle M(1,1,\cdots ,1)=1}
동차성 : ∀ λ ∀ x M ( λ ⋅ x 1 , ⋯ , λ ⋅ x n ) = λ ⋅ M ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \forall \lambda \ \forall x\ M(\lambda \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n})=\lambda \cdot M(x_{1},\cdots ,x_{n})}
(벡터 표기를 사용하면 ∀ λ ∀ x M ( λ ⋅ x ) = λ ⋅ M x {\displaystyle \forall \lambda \ \forall x\ M(\lambda \cdot x)=\lambda \cdot Mx}
단조성 : ∀ x ∀ y ( ∀ i x i ≤ y i ) ⇒ M x ≤ M y {\displaystyle \forall x\ \forall y\ (\forall i\ x_{i}\leq y_{i})\Rightarrow Mx\leq My}
이 성질들로부터 다음 성질들을 얻을 수 있다.
유계: ∀ x M x ∈ [ min x , max x ] {\displaystyle \forall x\ Mx\in [\min x,\max x]}
연속성: lim x → y M x = M y {\displaystyle \lim _{x\to y}Mx=My}
증명 방법: ∀ x ∀ y ( | | x − y | | ∞ ≤ ε ⋅ min x ⇒ ∀ i | x i − y i | ≤ ε ⋅ x i ) {\displaystyle \forall x\ \forall y\ \left(||x-y||_{\infty }\leq \varepsilon \cdot \min x\Rightarrow \forall i\ |x_{i}-y_{i}|\leq \varepsilon \cdot x_{i}\right)} M ( ( 1 + ε ) ⋅ x ) = ( 1 + ε ) ⋅ M x {\displaystyle M((1+\varepsilon )\cdot x)=(1+\varepsilon )\cdot Mx} ∀ x ∀ ε > 0 ∀ y | | x − y | | ∞ ≤ ε ⋅ min x ⇒ | M x − M y | ≤ ε {\displaystyle \forall x\ \forall \varepsilon >0\ \forall y\ ||x-y||_{\infty }\leq \varepsilon \cdot \min x\Rightarrow |Mx-My|\leq \varepsilon }
미분 가능하지 않은 평균도 있다. 순서쌍의 최댓값을 취하는 것(멱평균의 극단적인 경우, 혹은 중앙값의 특별한 경우)도 평균이지만 미분 불가능하다.
위에서 서술한 평균들은 일반화된 f-평균의 대부분을 제외하면 모두 위 성질들을 만족한다. 만일 f {\displaystyle f} 전단사 함수이면 일반화된 f-평균이 고정점 성질을 지닌다. 만일 f {\displaystyle f} 순단조 함수이면 일반화된 f-평균이 단조성도 지닌다. 일반화된 f-평균은 대부분의 경우 동차성을 잃는다.
위의 성질들을 이용하여 더욱 복잡한 평균을 만들 수 있다.
만일 C , M 1 , … , M m {\displaystyle C,M_{1},\dots ,M_{m}} 이 가중 평균이고 p {\displaystyle p} 가 양수라면,
∀ x A x = C ( M 1 x , … , M m x ) {\displaystyle \forall x\ Ax=C(M_{1}x,\dots ,M_{m}x)} ∀ x B x = C ( x 1 p , … , x n p ) p {\displaystyle \forall x\ Bx={\sqrt[{p}]{C(x_{1}^{p},\dots ,x_{n}^{p})}}}
를 만족하는 A , B {\displaystyle A,B} 도 가중 평균이 된다.
비가중 평균 [ 편집 ]
직관적으로 말하자면, 비가중 평균은 가중치가 모두 같은 가중 평균이라 할 수 있다. 하지만 위에서 가중 평균을 드러나는 가중치를 통해 정의한 것이 아니기 때문에, 가중치가 같다는 것을 다른 방법으로 정의해야 한다. 여기서는 가중치가 같으면 데이터의 순서를 서로 바꾸어도 결과가 변하지 않는다는 것을 이용하여 정의할 것이다.
M이 가중 평균이고 주어진 자료의 임의의 순열에 대해서도 결과가 바뀌지 않으면 M을 비가중 평균이라 한다.
다시 말하면, P를 크기 n 순서쌍의 모든 순열 집합이라 할 때
대칭성 : ∀ x ∀ π ∈ P M x = M ( π x ) {\displaystyle \forall x\ \forall \pi \in P\ Mx=M(\pi x)}
을 만족하면 M을 비가중 평균이라 한다.
가중 평균에서와 같이 만일 C , M 1 , … , M m {\displaystyle C,M_{1},\dots ,M_{m}} 이 비가중 평균이고 p {\displaystyle p} 가 양수라면
∀ x A x = C ( M 1 x , … , M m x ) {\displaystyle \forall x\ Ax=C(M_{1}x,\dots ,M_{m}x)} ∀ x B x = M 1 ( x 1 p , … , x n p ) p {\displaystyle \forall x\ Bx={\sqrt[{p}]{M_{1}(x_{1}^{p},\dots ,x_{n}^{p})}}}
도 비가중 평균이 된다.
비가중 평균을 가중 평균으로 바꾸기 [ 편집 ]
자료에 같은 원소가 여럿 있다고 생각하면, 비가중 평균을 가중 평균으로 바꿀 수 있다. 또한 이 관계는 평균이라는 것이 비가중 평균의 가중치 버전이라는 것을 의미한다. 비가중 평균 M {\displaystyle M} 과 자연수 가중치 a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} 를 생각해 보자. (만일 숫자들이 유리수이면, 최소공통분모를 곱하여 자연수로 만든다.)
그러면 이 가중치에 해당하는 가중 평균 A {\displaystyle A} 는
A ( x 1 , … , x n ) = M ( x 1 , … , x 1 ⏟ a 1 , x 2 , … , x n − 1 , x n , … , x n ⏟ a n ) {\displaystyle A(x_{1},\dots ,x_{n})=M(\underbrace {x_{1},\dots ,x_{1}} _{a_{1}},x_{2},\dots ,x_{n-1},\underbrace {x_{n},\dots ,x_{n}} _{a_{n}})}
이 된다.
다른 크기를 가지는 자료들의 평균 [ 편집 ]
만일 평균 M {\displaystyle M} 이 다른 크기를 가지는 여러 순서쌍에 대해 정의되어 있다면, 전체 평균은 각 순서쌍 평균들의 범위 밖으로 벗어날 수 없을 것이다. 정확히 말하자면,
임의의 순서쌍 x {\displaystyle x} y 1 , … , y k {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}} 분할되었다고 하자. 그러면 M x ∈ c o n v e x h u l l ( M y 1 , … , M y k ) {\displaystyle Mx\in \mathrm {convexhull} (My_{1},\dots ,My_{k})} 볼록 껍질( convex hull ) 참조)
가평균 [ 편집 ]
가평균(假平均, temporary average)은 평균을 낼 때 많은 데이터를 기준으로 계산을 간편하게 하기 위해 랜덤으로 정의한 평균치이다.
더 보기 [ 편집 ]
[통계분석] 통계기초 – 수학기호&통계기호
상징 기호 이름 의미/정의
P ( x ) 확률 밀도 함수
(pdf-probability density function ) P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx
P ( A ) 확률 함수 사건 A의 확률
P ( A ∩ B ) 사건 교차 확률 사건 A와 B의 확률
P ( A ∪ B ) 사건 합동 확률 사건 A 또는 B의 확률
P ( A | B ) 조건부 확률 함수 이벤트 B가 발생한 경우 이벤트 A의 확률
Σ 통계에서는 수열의 합. 시그마. 수열의 모든 항을 더한것
더하다는 뜻 sum 에서 유래하여 그리스 기호 시그마로 s로 나타낸다.
F ( x ) 누적 분포 함수
(cdf-Cumulative distribution function) F ( x ) = P ( X ≤ x )
E ( X ) 기대값 통계에서 기대값은 평균과 같다고 생각하면 된다. 가능한 값마다 확률을 곱해서 모두 더한 것이다. 확률변수 X의 평균으로 보통E(x)라고 쓴다.
exp(x) 기대값 exp는 expectation, expected value이다.
∫
적분
(인테그럴) 적분. 적분이란 정의된 함수의 그래프와 그 구간으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 것이다.s자 알파벳으로 오인할 수도 있는데 적분 기호는 길쭉한 기호 이다.
E ( X | Y ) 조건부 기대 Y가 주어진 임의 변수 X의 기대 값
예시 )
P ( X | Y = 2 ) = 5
var ( X ) 변화,변수,분산 (Variance) 랜덤 변수 X의 분산
σ 모수 표본 관측에 의해 구하고자 하는 모집단에 대한 정보
μ
모평균(뮤) 모집단의 평균
σ²
모분산 관측값에서 모 평균을 빼고 그것을 제곱한 값을
모두 더한것을 n-1로 나눈것이다.
관찰값들이 얼마나 퍼져 있는지를 구하는 방법이다.
분산을 알기 위해서는 먼저 평균을 알아내고, 각각 관찰값들과 평균 사이의 거리(distance)를 구하기 위해 관찰값에서 평균을 빼게 된다. 이때 평균이 음의 수인것은 평균을 내기 어려워서 과거에는 양의 수로 모두 바꿔서 계산을 하려고 제곱을 하게 됐다.
σ 모표준편차 모분산 σ ²에 루트를 씌운것이다.
위의 모분산 설명을 보면 모표준편차에서 왜 루트를 씌우는지 알 수 있는데 평균을 계산하기 위해 제곱했던것에 다시 루트를 씌워서 원래 값으로 돌리기 위함이다.
Ω
모집단,
표본공간(sample space)( 오메가) 모집단이나 표본공간 모든 사건의 수를 오메가로 표현한다.확률에서는 표본공간(sample space)를 말한다.표본공간이란 실험의 결과 하나하나를 모두 모은것
표준 ( X )
표준편차 랜덤 변수 X의 표준 편차
s 표본표준편차
(Standard deviation)
s ² 표본분산 모평균(모집단의 평균)을 추정하기 위한 추정량, 확률표본의 표본값
x̄ 표본평균(sample mean) 확률표본의 평균값.
표본통계량이란 표본평균이나 표본분산처럼 표본의 특성을 나타내는 대푯값
을 말한다.
X 언더바로 읽는다.
N ( μ , σ )
정규분포 ,가우스분포
n !
계승 (팩토리얼) n ! = 1⋅2⋅3⋅ ⋅ … N
계승은 자연수만을 정의역으로 둔다. 모든 자연수 항을 곱한다.
팩토리얼이라고 읽는다.
0!은 특별히 1로 생각하면 된다.
n P k
순열
기하 ( p ) 기하학적 분포 f ( k ) = p (1 -p ) k
X ~
X 분포 랜덤 변수 X의 분포
iid 독립분포
χ² 카이제곱분포
p-value p값 유의확률, 유의수준, 제1종 오류가 발생할 확률이다. 가설검정에서 쓴다.
lim
n→∞
총 시행횟수(무한대로 표현) 변수가 일정한 법칙에 따라 정해진 값에 한없이 가까워질 때의 값이다.
함수(또는 수열)의 값이 어떠한 값으로 가까워지거나, 또는 점점 멀어지는 움직임을 나타낸다.
연속성을 가진 연속형 확률변수를 정의할때 쓴다.
λ 푸아송분포
(람다) 포아송분포에서 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값이다.
람다: 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값
Γ 감마 모든 항을 곱할때 쓰는 기호이다. 팩토리얼처럼 0이하로는 정의하지 않는다. 계승함수(팩토리얼)의 성격을 가지고 있다.
[예시]Γ(n)=(n−1)! (n n 이 자연수일 경우)
Γ (n+1)= Γ (n) Γ(n+1)=nΓ(n)
Γ (1)=1 Γ(1)=1
∆ 델타 최소값부터~최대값까지
^ 곱셈 캐럿이라고 읽는다.
∏
곱연산 계속 곱해 나가라는 뜻
r 피어슨 상관계수 표본 상관계수 계산방식. 적률상관계수, 연속형변수, 정규성 가정에 대부분 많이 사용
𝜌 스피어만 상관계수 로우라고 읽음. 순위상관계수, 순서형 변수, 비모수적 방법, 순위를 기준으로 상관관계 측정, 서열척도
P 모양과 비슷해 보일 수 있다.
COV 공분산(covariance) 두 확률변수 X,Y를 한꺼번에 놓는 방향의 조합이다.
Corr 상관계수
~ ~따라서 ~ b+1 ~ X(n+1) b+1은 따라서 x(n+1)로 규정된다.
≈
근사값이다. y ≈ X y는 x의 근사값임을 의미한다
∝ 비례기호(proportionality sign) A∝B A는 B에 비례한다.
01-3 시그마와 평균 : 합의 기호 ∑와 평균 그리고 연산
728×90
앞서 통계가 무엇인지, 통계를 왜 배워야 하는지 배웠어. 그럼 이제 통계적 기법들을 위한 방법을 배워볼까?
아참, 이제부터는 구글 스프레드시트를 활용하면서 본격적으로 시작해 볼게!
먼저 합의 기호를 배울거야. 히랍어 대문자 ‘∑’라고 쓰고 ‘시그마(sigma)’라고 읽어. 고등학교 때 배운적 있지? 만약 이 글을 읽는 친구가 시그마를 모른다고해도 괜찮아. 내가 알려줄거니까!
일단 합의 기호가 왜 필요한지부터 알아야겠지?
우리가 접하게 될 자료들은 하나의 수치가 아니라 여러 수치들이 뭉쳐있는 자료 덩어리들을 접하게 될거야. 특정 집단이 주어진다면 특정 집단의 모든 수치들을 다뤄야 하는거지. 중요한 것은 ‘모든’이라는 단어야.
앞서 배웠던 모집단과 표본집단을 떠올려봐. 모집단은 대부분 너~무~나 많기 때문에 모집단의 전체 수치들을 다루기란 사실상 불가능해. 전세계 모든 ADHD 환자들에 대한 정보를 다 수집한다고? 오노! 그럴순 없어. 하지만 모집단에서 무작위로 표본추출한 표본집단이라면? 표본집단은 추론 통계를 위해 추출한 집단이기 때문에 사례수가 모집단에 비하면 매우 적을거야. 표본집단이 가지고 있는 모든 수치를 다룰 수 있을 만큼 적겠지. 우리는 표본집단과 같이 파악 가능하고 계산 가능한 집단의 수치들을 컴퓨터 기술을 통해 다룰 수 있어. 그 때 필요한 기호 중 하나가 바로 시그마(∑)야.
쉽게 이해하기 위해 아래의 표를 먼저 볼게.
손흥민 선수의 토트넘에서의 골 기록 시즌 점수 기호 점수치 15-16 시즌 8 16-17 시즌 21 17-18 시즌 18 18-19 시즌 20 19-20 시즌 18 20-21 시즌 22
(편의를 위해 텍스트에서는 변인의 밑수를 일반 숫자로 대체하여 설명합니다.)
위의 표는 실제 손흥민 선수의 기록이야. 16-17 시즌 부터의 활약이 돋보이네!
그리고 점수 기호는 ‘변인(variable)’을 나타내기 위해 가장 많이 쓰이는 X로 나타냈어. 프로그래밍을 배운 친구들이라면 ‘변수(variable)’의 개념을 떠올리면 돼. X4는 18-19 시즌의 골 기록을 나타내는 변인이 되는거야. 어렵지 않지?
이제 우리는 손흥민 선수가 토트넘에서 한 시즌당 평균 몇 골을 넣었는지 알고 싶어졌어. 어떻게 알 수 있을까?
간단해. 모든 득점수의 합을 시즌의 횟수대로 나누면 돼. 총 여섯 시즌 동안의 기록이니까 모든 득점수를 합한 다음 6으로 나누면 되는거야. 수식으로 정리하면,
평균 = 모든 점수들의 합 / 점수들의 수
(프로그래밍에서 ‘/’ 기호는 ‘÷’를 뜻 함. ‘/’를 기준으로 앞에 오는 것이 분자, 뒤에 오는 것이 분모이기 때문)
가 되겠지. 위의 표에서는 점수가 ‘득점수’가 되는 것이고. 그런데 ‘모든 점수들의 합’이라는 말이 너무 길잖아? 그래서 우리는 이제부터 ‘모든 점수들의 합’을 ‘∑(시그마)’라고 할거야. ∑ 자체가 합의 기호이기 때문에 가능하지! 그리고 만약 위와 같이 모든 변인 X들의 합을 나타내고 싶다면 ‘∑X’라고 표현하면 돼. 끝으로 ‘점수들의 수’는 N으로 표현할 수 있어. 이제 평균을 구하는 수식을 기호들을 사용해서 다시 표현해 볼까?
평균 = ∑X / N
어때? 훨씬 간단해졌지?
사실 변인 X들의 합을 더 자세하게 나타내려면
이런 식으로 나타내야 돼. Xi에서 i를 1부터 N까지 1씩 증가시키면서 더한다는 뜻이야. 정리하면,
와 같지. 쉽게 말해서 X1부터 XN까지 모든 변인들의 점수치를 다 더하라는 뜻이야. 손흥민 선수가 토트넘에서 6시즌 동안 득점한 총 득점수를 구한다고 하면
이렇게 나타낼 수 있어. i가 1부터 6까지 1씩 증가하면서 더하라는거지. 그리고 실제 기록에 대입해보면
와 같이 나타낼 수 있어. 6시즌 동안 107득점이라니! 굉장한걸?
만약 한 집단의 모든 점수치들을 더한다고 한다면 기호는 생략될 수 있어.
나는 앞으로 텍스트로 설명할 땐 ‘∑X’로 나타낼거야. 그래도 여러분들을 찰떡같이 알아듣고 ‘집단의 모든 점수치들을 더한 것이구나!’ 라고 알 수 있겠지?
이제 합의 기호는 알았으니 스프레드시트에서 어떻게 하면 점수치들을 더할 수 있는지 알아봐야겠지? 스프레드시트에서는 정말 쉽게 값들의 합을 알아낼 수 있어. 먼저 스프레드시트에 데이터를 입력해야돼.
그리고 내가 합하고자 하는 데이터들을 선택해야 돼. 점수치들을 선택하면 되겠지?
그리고나서 상단의 아이콘 중에서 함수를 적용할 수 있는 시그마 기호 아이콘을 찾아서 누르고 ‘SUM’을 선택하면!
내가 선택한 데이터들의 합을 더할 수 있는 수식이 그 다음 행에 자동으로 입력돼!
수식의 내용은 SUM이라는 함수를 통해 C3부터 C8까지의 값을 더하라는 내용이야. 수식이 입력된 상태에서 키보드 엔터(enter)키를 누르면 계산된 값을 볼 수 있어.
어때? 참 쉽지?!
몇 번의 클릭 만으로 내가 합하고자 하는 값들을 구할수 있으니 엄청 편리하네!
마지막으로 우리가 배운 기호를 활용해서 나타내보면
이렇게 나타낼 수 있어. ∑X는 X 변인들의 총합을 뜻해.
이제 ∑에 대해 알겠지? 총합을 구할 수 있다면 평균도 구할 수 있을거야! 한 번 구해볼까?
평균, 정확히는 모든 점수들의 합을 점수들의 수로 나눈 ‘산술 평균(arithmetic mean)’을 구해볼거야. 우리가 흔히 쓰는 평균이라는 용어는 산술 평균을 뜻하는데, 평균에는 산술 평균 말고도 기하 평균(geometric mean)이나 조화 평균(harmonic mean)등이 있어. 기하 평균이나 조화 평균에 대해서는 필요하면 그때가서 다시 설명해줄게! 암튼 평균을 mean이라고 한다는 것만 알고 있으면 돼.
잉?! 평균은 average가 아니었나?! 맞아. average나 mean이나 한국어로 번역하면 둘 다 평균이니까. 하지만 average는 보통 산술 평균을 의미하고, mean은 수학적 평균으로 산술 평균이나 기하 평균 혹은 조화 평균등을 의미하는 것이지. 용어를 한 번에 너무 많이 배우면 헷갈리기 마련이니 용어에 대한 정리는 배우면서 차차 해나가도록 할게!
X 변인들의 평균 또한 기호로 나타낼 수 있어.
위와 같이 쓰고 ‘엑스 바’라고 읽어. 하지만 X바는 컴퓨터로 입력하기가 어렵기 때문에 앞으로 텍스트로 설명할때에는 mean을 뜻하는 ‘m’이라고 할게.
이제 평균에 대한 기호도 익혔으니 평균을 구하는 방법을 새로 나타낼 수 있을거야.
X바는 평균을, ∑X는 X 변인들의 합을, 마지막으로 N은 X 변이들의 수를 뜻 해.
어때? 기호로 나타내니까 굉장히 간단하게 보이지? 텍스트로 나타내면
m = ∑X / N
으로 나타낼 수 있겠네. 그놈이 그놈이니 어떻게 나타내든 잘 알아줬음 좋겠어!
이제 스프레드시트로 평균을 구해볼까?
평균을 구하는 것도 값들의 합을 구했던 것과 같이 굉장히 간단해. 내가 평균을 구하고자 하는 값들을 선택한 다음 상단의 아이콘 중에서 시그마 모양의 함수 아이콘을 찾고 ‘AVERAGE’만 선택하면 되지!
AVERAGE를 선택하면 내가 선택한 값들의 평균값을 구할수 있는 수식이 바로 다음 행에 자동으로 생성돼. 그런데 우리는 앞서 SUM을 선택해서 총합을 구해놨었기 때문에 셀을 정해주지 않으면 우리가 구했던 총합에 덮어씌워지게 될거야.
점수치들을 선택하고 AVERAGE를 선택하면 총합이 구해져있는 C9셀에 덮어씌워지게 돼!
그러면 안되겠지? 값을 덮어씌우지 않기 위해 C9셀 바로 밑의 행인 C10에 평균을 구해보자구. 방법은 간단해. C10을 선택하고 함수 아이콘에서 AVERAGE를 클릭하면 돼. 혹은 C10셀의 수식 입력창에 ‘=AVERAGE()’를 직접 입력하는 방법도 있어.
AVERGAGE() 함수를 사용하면 소괄호 안의 값들의 평균을 구할 수 있어. 소괄호 안에 내가 구하고자 하는 값들의 셀을 직접 입력해도 되고, 아니면 마우스를 사용해서 값들을 선택해 주어도 돼.
만약 직접 입력한다고 C10의 수식은 ‘C3부터 C8까지의 값들’이라는 뜻의 ‘C3:C8’를 사용해서 입력할 수 있어.
=AVERAGE(C3:C8)
그리고 키보드의 엔터키를 누르면 17.83이라는 수치가 출력될거야. 한 시즌당 거의 18골을 넣었다니.. 손흥민 선수는 참 대단한걸?!
이제 합의 기호 시그마를 사용해서 점수들의 합을 나타내는 방법, 그리고 스프레드 시트를 통해 계산하는 방법에 대해 잘 알겠지? 그리고 평균을 구하는 방법도 말야.
그럼 마지막으로 합의 기호를 사용한 연산에대해 알아볼게.
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합의 기호를 사용한 연산
1. ‘변인에 어떤 상수를 곱한 것들의 합’은 ‘변인의 합에 어떤 상수를 곱한 것과 같다.’
말이 아리송해 보이네. 무슨 뜻일까? 1부터 5까지의 합은 얼마일까? 15지. 이제 1부터 5까지의 숫자에 각각 2를 곱해볼거야. 그럼 1, 2, 3, 4, 5는 2, 4, 6, 8, 10이 될거야. 그리고 2, 4, 6, 8, 10의 합은 30이 되겠지. 그치?
이번에는 순서를 반대로 해볼거야. 먼저 1부터 5까지의 합을 구한 다음 2를 곱해보는거지. 1부터 5까지의 합은 15니까 여기에 2를 곱하면 30이 되겠네?
즉, 변인에 상수를 곱해서 합하나 변인의 합에 상수를 곱하나 그놈이 그놈이라는 소리야. c가 상수이고 X가 변인이라고 하면
이렇게 나타낼 수 있어. 잊지마!
2. ‘어떤 상수를 N번 더한 것’과 ‘어떤 상수에 N을 곱한 것’은 같다.
어떻게 보면 당연한 말이긴 한데.. 1을 다섯 번 더한 것과 1에 5를 곱한 것은 당연히 같겠지? c가 상수라면 아래와 같이 나타낼 수 있어.
간단하지?
3. ‘다른 두 변인을 더해서 합한 것’과 ‘다른 두 변인의 합을 더한 것’은 같다.
이번에는 X변인 뿐만 아니라 Y변인도 있다고 해볼게. X변인들과 Y변인들을 각각 더한 다음 합을 구한 것과 X변인들의 합과 Y변인들의 합을 더한 것이나 같다는 말이야.
예를 들어볼까?
X변인들에는 1, 2, 3이 있고 Y변인들에는 4, 5, 6이 있다고 해볼게. 첫 번째 X변인인 1과 첫 번째 Y변인인 4를 더할거야. 5가 되겠네. 그 다음에는 2와 5를 더할거야. 7이지. 마지막으로 3과 6을 더하면 9가 돼. 이제 이것들을 다 합하면? 5와 7을 그리고 9를 합하면 21이 돼.
이번에는 반대로 X변인들을 다 합해줄거야. 1, 2, 3을 합하면 6이 되겠지? 그리고 Y변인들도 다 합해볼거야. 4, 5, 6을 합하면 15가 되네. 마지막으로 두 변인들의 합을 더해줄거야. 6과 15를 더하면 21이 되는거지. 각각의 변인들을 더해서 합하나, 변인들의 합을 더하나 그게 그거지? 기호로 나타내면
와 같이 나타낼 수 있어. 어렵지 않지? 마지막으로,
4. ‘∑X²는 제곱된 점수들의 합’이고 ‘(∑X)²는 점수들의 합을 제곱한 것’이다.
앞으로 제곱을 정말 많이 쓸텐데 헷갈리면 안돼. 보기엔 비슷하지만 ∑X²과 (∑X)²는 서로 다르니까 조심해야돼.
만약 X변인들이 1, 2, 3이라면 제곱된 점수들의 합은 1²(=1)과 2²(=4) 그리고 3²(=9)을 합한 값인 14가 되는 것이고, 점수들의 합을 제곱하면 1, 2, 3을 합한 9에 제곱을 해서 81이 되는 것이지. 어때? 14와 81은 엄청나게 큰 차이를 갖고있지? 숫자가 이렇게 작은데도 큰 차이를 보이고 있다면, 나중에 더 큰 숫자들로 계산해 본다면 훨씬 더 많이 차이나게 될거야.
합의 기호 시그마와 연산 방법만 알아도 되게 많은 것들을 할 수 있어! 앞으로 재미있는 계산들이 많이 기다리고 있으니 배운 내용을 적용해서 풀어볼까? 하핫!
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기댓값과 표본평균
❗️블로그 옮김: https://www.taemobang.com
기댓값은 $E(X)$와 같이 나타내고, 표본평균은 $\bar{X}$, $\bar{x}$와 같이 나타낼 수 있다. 통계학에 익숙하지 않은 사람은 세 개념이 헷갈릴 수 있다. 단순하게 생각하면 $E(X)$도 평균이고, $\bar{X}$, $\bar{x}$도 평균이기 때문이다. 그러나 세 기호 모두 사실 다른 개념이다. 이를 확실하게 잡기위해 그 차이점을 알아보자.
1. $E(X)$
확률분포와 기댓값에서 강조했듯이. 확률변수(random variable, r.v.)는 분포를 가진다. 분포를 가지는 확률변수의 기댓값 또는 평균(mean)을 나타내는 값이 $E(X)$ 이다. 즉 분포의 중심 위치 또는 무게중심을 나타내는 값이다. 또한 $E(X)$는 확률변수의 타입 연속형, 이산형에 따라서 조금 다른 형식으로 정의가 되며, 이 식만을 놓고보면 또 조금 다르게 $E(X)$를 해석할 수도 있다. 매우 중요한 개념이다. 그럼 먼저 식을 보자.
$E[X]= \left\{\begin{matrix} \sum_{x}xf(x),\, \textrm{X : discrete}
\\ \int_{-\infty }^{\infty}xf(x),\, \textrm{X : continuous}
\end{matrix}\right.$
위 처럼 정의된다. 식을 자세히 들여다보자. 이산형이든, 연속형이든 $\sum$, $\int$의 단순한 차이만 있지 내부의 식은 $xf(x)$로 동일하다. $f(x)$는 확률변수의 분포를 표현하는 식으로 $pdf$(probability density function)라고 표현한다. 즉, 확률변수의 어떤 값이 관측될 가능성을 확률로 표현한 식이다. $xf(x)$의 의미는 $pdf$를 기반으로한 가중평균의 개념으로 볼 수 있다. 예를 들어 관측값 $x_1$, $x_2$이 있다고하면 $x_1$과 $x_2$가 관측될 가능성을 가중값으로 하여 계산한(즉 $pdf$를 기반으로한) 가중평균이라고 할 수 있다.
2. $\bar{X}$
통계량이라는 용어에 대한 개념이 필요하다. 통계량은 표본들의 특성값(평균, 표준편차 등)이라고 표현하기도 하며, 가장 중요한 정의는 “확률변수의 함수로 정의되는 모든 것”이다. 즉, 통계량도 확률변수이므로 분포를 가진다. 참고로 우리가 자주쓰는 통계량인 표본평균, 표준편차등을 제외한 $X_1$ + $X_2$ + $X_3$도 통계량이다. 이제 다시 $\bar{X}$에 대한 얘기로 돌아오자. $\bar{X}$는 확률변수 $X_1$, $X_2$, $\cdots $, $X_n$을 n으로 나눈 확률변수들의 함수에 해당하므로 통계량이자, 확률변수라고 할 수 있다. 그러므로 $\bar{X}$도 통계량이자 확률변수이므로 분포를 가진다는 점을 인지하고 접근하는게 매우 중요하다. 정리하면, $\bar{X}$라는 기호는 분포를 가지는 확률변수인 표본평균의 의미를 담고있다.
통계학에서 $\bar{X}$와 $\bar{x}$의 구분은 필요하다. 먼저 우리는 왜 표본(sample)을 뽑을까? 사실 현실에서는 모집단(population)을 전수조사할 수 없는 경우가 많다. 그래서 이 모집단의 특성을 추론(이 특성을 잘나타내주는 값으로 평균과 분산등이 있다.)하기위해 표본(sample)을 잘 뽑는 과정이 필요하다. 표본평균은 말그대로 표본들의 평균이다. 표본(sample)은 모집단(population)으로부터 랜덤하게 추출한 것이다 즉, 뽑을때마다 다르다. 그러므로 표본평균의 값도 매번 다를 수 있으며, 그 가능성을 표현할 필요가 있다(분포를 가진다는 말과 동일하다). 이러한 이유에서, 통계학에서 $\bar{X}$와 $\bar{x}$의 구분은 이론전개에 있어서 매우 중요하다.
3. $\bar{x}$
위 개념을 이해했다면, 이는 이해하기 쉽다. 모집단으로부터 샘플링된 표본집단의 평균이다. 다시 말하면, 표본을 관측하고 난 후의, 그 관측값을 통해 구한 표본집단의 평균 값이다. 즉 $\bar{x}$ 기호로 표시되는 표본평균은 상수를 의미하며, 모집단으로부터 뽑힌 자료들이 가지는 평균(중심 위치) 그 자체를 의미한다.
수학 공식 | 고등학교 > 표본평균의 분포
모평균, 모분산, 모표준편차
어떤 모집단에서 조사하고자 하는 특성을 나타내는 확률변수를 $ X $라고 할 때, $ X $의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라 하고, 각각 기호로 $ m $, $ \sigma^2 $, $ \sigma $와 같이 나타낸다.
표본평균, 표본분산, 표본표준편차
어떤 모집단에서 크기가 $ n $인 표본 $ X_1 $, $ X_2 $, $ \cdots $, $ X_n $을 임의추출하였을 때, 이 표본의 평균, 분산, 표준편차를 각각 표본평균, 표본분산, 표본표준편차라 하고, 각각 기호로 $ \overline{X} $, $ S^2 $, $ S $와 같이 나타내고 다음과 같이 계산한다. \begin{gather*}
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i , \ \ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i – \overline{X})^2
\end{gather*}
표본평균의 평균, 분산, 표준편차
모평균이 $ m $, 모분산이 $ \sigma^2 $인 모집단에서 임의추출한 크기가 $ n $인 표본의 표본평균을 $ \overline{X} $라 할 때, 표본평균 $ \overline{X} $의 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같다. $ {E(\overline{X})=m} $ $ \displaystyle {V(\overline{X})}=\frac{\sigma^2}{n} $ $ \displaystyle {\sigma(\overline{X})}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $
표본평균의 분포
평균이 $ m $, 분산이 $ \sigma^2 $인 모집단에서 크기 $ n $인 표본을 임의추출할 때 모집단이 정규분포 $ N(m, \ \sigma^2) $을 따르면, 표본평균 $ \overline{{X}} $는 정규분포
\begin{gather*}
{N} \left( m, \ \dfrac{\sigma^2}{n} \right)
\end{gather*}을 따른다. 모집단이 정규분포를 따르지 않아도 $ n $이 충분히 크면 표본평균 $ \overline{{X}} $는 정규분포
\begin{gather*}
{N} \left( m, \ \dfrac{\sigma^2}{n} \right)
\end{gather*}에 가까워진다.
정규분포 $ N(120, \ 10^2) $을 따르는 어떤 모집단에서 크기가 $ 25 $인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $ \overline{X} $에 대하여 확률 $ \mathrm{P}( \overline{X} \leq 125 ) $을 구하여라.
키워드에 대한 정보 평균 기호
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