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확률과정과 확률오차 – 블로그
이러한 확률오차의 전반적 크기는 다음과 같다. . (합의 표준오차)=(추출횟수의 제곱근) x (상자의 표준편차).
Source: blog.naver.com
Date Published: 8/20/2022
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제 16 장 표본추출에서의 확률오차
표본추출과 확률오차. 2. 기대값과 표준오차. 3. 정규분포곡선의 활용. 4. 모비율 추정의 정확도. 5. 보정계수. 6. 표본비율의 표준오차. 7. 신뢰구간.
Source: ezstat.snu.ac.kr
Date Published: 9/29/2022
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실험보고서 작성법 06: 오차와 오차해석 – soma0sd
과학이나 공학을 더 깊이 공부하면 오차론이라는.. … 확률오차는 참값이 오차범위 안에 있을 확률이 50 %라는 뜻입니다. 표준오차는 안에 참값이 …
Source: soma0sd.tistory.com
Date Published: 8/26/2022
View: 7458
확률오차 probable error
확률오차 probable error. 변량 X 를 여러 번 측정하여 그 중에서 가장 정밀하다고 생각되는 값 A 를 구했을 때, 각 측정값에 대하여 |X-A|를 만들고, 이것을 크기 순 …
Source: www.ktpm.co.kr
Date Published: 1/29/2022
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확률오차 (確率誤差, probable error) > 안전관리업무관련 참고 …
즉, 어떤 값보다 큰 오차와 작은 오차가 일어나는 확률이 같을 때 이 값을 확률오차(sp)라 정의한다. 측정값의 신뢰도를 표시하는 확률오차(sp)는 +sp와 -sp에서 y축, …
Source: www.safetynetwork.co.kr
Date Published: 4/1/2021
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확률 오차의 자세한 의미
확률 오차: 어떤 변량이 평균값에서 벗어나는 오차를 나타내는 양. 이 오차의 범위 내에 들 확률은 2분의 1이다. (어휘 한자어 수학 )
Source: wordrow.kr
Date Published: 7/2/2021
View: 2854
【통계학】 12강. 오차해석 – 정빈이의 공부방
⑷ 확률오차(probable error). ① 정의 : 측정값을 얻을 때 추정되는 오차의 크기. ② 오차의 원인이라기보다는 오차를 표현하는 방법.
Source: nate9389.tistory.com
Date Published: 2/6/2022
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확률과정과 확률오차
통계학 확률과정과 확률오차 modernyoon ・ URL 복사 본문 기타 기능 공유하기 신고하기 기댓값과 표준오차 어떤 확률 과정에서 분포의 중심이 되는 값을 기댓값(expected value)이라 한다. 실제 시행 결과 기댓값과의 차이를 확률오차라 하며 확률오차의 전반적인 크기(기댓값으로부터 퍼진 정도)를 표준오차(standard error)라 한다. 기댓값과 상자모형 잘 섞인 포커카드(조커는 없다)에서 한 장의 카드를 뽑아서 문양(스페이드, 하트, 다이아몬드, 클로버)을 맞추면 2 천원을 따고 틀리면 1천원을 잃는 게임이 있을 때 이 게임을 100번 반복할 경우 얼마를 딸 것으로 기대되는가? 앞서 언급하였던 상자모형을 통해 기댓값을 구해보자. 우선 상자 설정을 해보자면 상자 안에는 (2000)이 적힌 공 하나와 (-1000)이 적힌 공이 세 개가 들어있다. 이 상자의 평균은 2000*1/4+-1000*3/4=-250이다. 여기에 추출횟수 100을 곱해주면, 이 게임에서 총 기댓값은 -25000이라 할 수 있다. (합의 기댓값)=(추출횟수) x (상자의 평균) 만약 상자에 두 종류의 카드만 들어 있다면 표준편차는 다음과 같이 쉽게 구할 수 있다. (상자의 표준편차)=(큰 수-작은 수) x sqrt[(큰 수의 비율) x (작은 수의 비율)] 위 상황의 경우 상자의 표준편차는 [(1000)-(-1000)] x sqrt[(1/4)x(3/4)]로 500√(3)이다. 표준오차와 상자모형 0, 2, 3, 4, 6이 한장씩 들어있는 상자에서 무작위 25회 복원추출을 한다고 해보자. 상자의 평균은 3이고 추출횟수가 25라면 합의 기댓값은 75이다. 하지만 실제론 0만 25회 뽑아 합이 0일 수도 있고, 6만 25회 뽑아 합이 150일수도 있다. 이처럼 기댓값과 실제값의 차이를 확률오차라 한다. 이러한 확률오차의 전반적 크기는 다음과 같다. (합의 표준오차)=(추출횟수의 제곱근) x (상자의 표준편차) 이는 직관적으로 추출횟수가 많아지고 상자의 구성이 복잡해질수록 그 합을 예측하기 어려워 표준오차는 커진다고 볼 수 있다. 위 공식을 적용해 위 경우의 표준오차는 추출횟수의 제곱근(5) x 상자의 표준편차(2)로 10이다. 상자는 모집단의 개념이므로 상자의 표준편차는 모표준편차(n으로 나눠줌)로 계산하였다. 본서는 통계량으로 표본평균 대신 표본합을 주로 다루고 있지만 본질은 같다. 위의 내용들을 표본평균의 분포(표집분포;sampling distribution)로도 생각할 수 있다. 즉 표본평균 분포의 평균은 기댓값이고, 표준편차는 표준오차라 할 수 있겠다. 한편 실제로는 표준오차를 계산할 때 모표준편차의 값을 아는 경우는 거의 없으므로 표본표준편차로 대체하여 사용하여도 그 값은 비슷하다. 분류하고 횟수세기(베르누이 분포) 주사위 하나를 60번 던졌을 때 6이 나오는 횟수는 대략 10회이고 3회 정도의 오차가 있을 수 있다. 위 진술을 알아보기 위해 1이 적힌 공 1개와 0이 적힌 공 5개가 든 상자를 상정하자. 이 상자의 평균은 1/6이고 표준편차(큰수와 작은수만 있다!)는 약 0.37 이다. 따라서 기댓값은 10이며 표준오차는 약 3이다. 비율에 관하여(큰 수의 법칙) 어떤 확률변수의 성공확률(모비율)이 p라 할 때, 이를 n번의 시행 중 성공횟수 X의 비율인 표본비율 p햇 으로 추정할 경우 다음과 같은 결과를 얻는다. 통계학 저자 류근관 출판 법문사 발매 2003.02.25. 인쇄
실험보고서 작성법 06: 오차와 오차해석
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이 포스트는 이공학 고등학생을 위한 과학글쓰기 특강의 내용을 재편집한 것입니다. 일반고 1학년(10학년)을 대상으로 겨울학기 2시간씩 4일 동안 진행했습니다.
과학이나 공학을 더 깊이 공부하면 오차론이라는 것을 배우게 됩니다. 단순히 오차를 구하는 것 뿐만 아니라 통계적 기법으로 오차의 경향을 찾아내거나, 분포와 결합하거나, 사칙연산을 하는 등 복잡한 것을 배우죠. 여기서는 간단하게 어떤 느낌인지 맛만 보는 수준으로 진행합니다.
오차와 오차해석을 쓰는 이유
실험보고서에 무언가를 적는다는 것은 독자가 실험을 이해할 때 필요한 것이라는 뜻입니다. 즉, 오차와 오차해석도 실험을 이해하는데 필요한 내용이죠. 오차는 실험결과를 얼마나 믿을 수 있는지 나타냅니다. 오차가 너무 크면 실험을 통해 확인할 수 있는 사실들과 실험 결과를 토대로 추론할 수 있는 내용이 제한됩니다.
유효숫자
실험보고서의 유효숫자는 측정장치의 정밀도를 가늠할 수 있도록 해줍니다.
그림 1. 눈금간격이 다른 자의 측정값 보고
자, 온도계, 각도기등으로 측정을 할 때는 그림 1과 같이 가까운 눈금을 읽게 됩니다. 이때 최소눈금의 단위가 얼마인지에 따라 측정값의 정밀도가 달라지게 됩니다.
그림 2. 최소눈금이 0인 경우의 측정값 보고
그림 2와 같이 읽는 최소눈금이 0인 경우에는 최소눈금 자릿수에 0을 넣어서 “mm단위까지 측정할 수 있는 장비로 14 cm이 측정된다”는 의미를 전달할 수 있습니다.
측정값의 오차
일반적인 방법은 편차를 계산해서 표시해야 하지만 여기서는 나온 값들의 범위를 나타내도록 하겠습니다. 표시한 오차는 어떻게 계산한 것인지 오차를 표기하는 실험 결과 등에 언급해야 합니다.
그림 3. 오차를 구하는 과정
데이터의 평균을 구하고 최대값과 최소값 중 평균과 더 차이가 큰 값을 오차로 표시합니다. 오차는 {평균}\(\pm \){오차}로 표기하는 것이 일반적입니다.
이 방식은 이해하기에는 쉽지만 반복횟수가 많아질수록 오차가 커질 수 있다보니 반복해서 실험하는 의미가 사라질 수 있습니다. 때문에 보통 오차를 계산할 때는 표준오차나 확률오차를 사용합니다. 표준오차는 오차가 없는 참값이 오차범위 안에 있을 확률이 68.3 %라는 뜻입니다. 확률오차는 참값이 오차범위 안에 있을 확률이 50 %라는 뜻입니다.
표준오차는 안에 참값이 있을 확률이 2/3에 가까우니 부정확해보이지만 표준오차의 두배 범위라면 확률은 95.4 %, 세배라면 99.7 %로 확률이 높아집니다.
표준 오차:
$$ 표준오차 = \sqrt{\frac{\sum_{데이터}{편차}^{2}}{측정수 (측정수 – 1)} } $$
확률오차:
$$확률오차 = 0.6745 \times 표준오차 $$
편차는 데이터에 평균값을 뺀 양입니다. 계산기를 이용해 표준오차를 구하기 위해서는 모든 데이터 편차의 제곱을 더한 뒤 측정수(데이터의 갯수)로 나누고 측정수에서 1을 뺀값으로 한번 더 나눠준 값의 제곱근을 구하면 됩니다. 확률오차는 구한 표준오차에 0.6745를 곱해줍니다.
이렇게 계산한 표준오차와 확률오차도 위의 오차표기와 같은 방식으로 표시합니다. 잊지말고 실험 결과 등 오차를 표시하는 항목에서 어떤 오차인지 적어두어야 합니다.
이론값(참값)이 존재하는 경우의 오차
우리가 하는 실험이 현상이나 물질의 특성을 시험하는 것이라면 측정값의 오차만 다뤄도 문제없습니다. 하지만 실험 목적이 어떤 이론, 혹은 가설로 제시한 규칙을 검증하는 것이라면 실험 결과를 이론값과 비교해봐야 합니다. 초기 조건값을 이론식에 넣어 이론식의 결과와 실험 측정값을 비교합니다.
$$ 오차[\%] = \frac{|이론값 – 측정값|}{이론값} \times 100[\%] $$
이것을 상대오차라고 하며 계산한 값을 실험 결과나 결과 분석에 별도로 표시합니다.
오차 분석 & 오차 해석
현상이나 물질의 특성을 시험하는 경우의 오차 분석 결과는,
{조건}에 의해 {대상의 특성}이 변화한다고 보는 것이 타당하다. {조건}과 {대상의 특성}은 관계없다고 보는것이 타당하다. {조건}과 {대상의 특성}사이의 관계를 알 수 없다.
이론을 검증하는 경우에는,
실험 결과는 {이론}이 예측하는 {현상}이 나타남을 알 수 있다. 실험 결과상 {이론}이 예측하는 {현상}이 나타나지 않는다. 실험 결과로는 {이론}이 예측하는 {현상}이 나타나는지 알 수 없다.
두가지 모두 3번은 실험을 잘못 설계했을 때의 결론입니다. 1번과 2번은 결국 결론인데, 오차를 감안하고도 1번과 2번의 결론을 낼 수 있는지가 오차 분석의 과제입니다.
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확률오차 (確率誤差, probable error) > 안전관리업무관련 참고자료
변량(變量) X를 여러 번 측정하여 그 중에서 가장 정밀하다고 생각되는 값 A를 구했을 때, 각 측정값에 대하여 |X－A|를 만들고, 이것을 크기 순으로 늘어놓았을 때 정확히 중앙에 오는 것을 의미한다. 즉, 어떤 값보다 큰 오차와 작은 오차가 일어나는 확률이 같을 때 이 값을 확률오차(sp)라 정의한다. 측정값의 신뢰도를 표시하는 확률오차(sp)는 +sp와 -sp에서 y축, 즉 f(e)에 평행한 직선을 그으면 오차곡선과 x축 사이의 면적은 이등분되고 확률오차는 결과적으로 다음과 같이 된다.
【통계학】 12강. 오차해석
12강. 오차해석
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1. 오차의 본질
⑴ 측정 : 엄밀히 정해진 단위에 대해 측정값을 결정하는 것
⑵ 오차 = 측정값 – 참값
⑶ 양자역학의 불확정성 원리에 의해 어떤 측정이든 참값을 정확히 알 수 없음
⑷ 참값이 정확하지 않으므로 오차는 특정 값이라기보다는 특정 범위로 간주되는 게 타당 (확률오차와 관련)
2. 오차의 종류
⑴ 부당오차
① 정의 : 계기조작상 분명히 실수를 범하여 측정값이 신빙성이 없는 경우에 생기는 오차
② 예 1. 길이를 재는데 한쪽 원점을 맞추지 않은 경우
③ 예 2. 저항측정에서 원점을 확인하지 않는 경우
④ 해결방법 : 원인이 명백하므로 얻은 데이터를 무시
○ 이들을 포함시킨다면 다른 측정값들의 신빙성이 떨어지기 때문
⑵ 계통오차(systematic error)
① 정의 : 측정계기의 불안정한 상태로 인한 오차
② 특징 : 크기와 부호를 추정할 수 있고 보정할 수 있는 오차
③ 예 1. 전압을 여러 번 측정하여 평균값을 얻었는데 확인결과 사용한 전압계의 눈금이 원점에서 벗어난 경우
④ 예 2. 어떤 자로 길이를 재었는데 온도에 따른 길이의 변화를 고려하지 않는 경우
⑤ 예 3. truncation error : 급수로 표현되는 해에서 특정 항까지만 취함으로써 생기는 오차
⑶ 우연오차(random error)
① 정의 : 반복 측정할 때마다 상이한 결과를 얻게 되는 측정값들의 변동에 기인하는 오차
② 해결방법 : 더 정밀한 측정계기를 사용하거나 여러 번 반복 측정하는 경우
③ 우연오차를 줄이는 문제가 실험결과를 향상시키는 제일 중요한 요소
⑷ 확률오차(probable error)
① 정의 : 측정값을 얻을 때 추정되는 오차의 크기
② 오차의 원인이라기보다는 오차를 표현하는 방법
③ σ p 로 표시하며 측정값 x = x avg ± σ p 와 같이 사용
○ x의 오차가 σ p 라는 의미가 아님
○ x가 ±σ p 이상 벗어날 확률이 작다는 의미
○ 참값이 x avg – σ p 와 x avg + σ p 사이에 있을 확률이 50%가 되도록 σ p 를 설정
④ 오차는 정상분포를 이루며, 오차의 표준편차를 σ m 이라 하면 참값이 x avg – σ m 과 x avg + σ m 사이에 있을 확률은 약 68 %
⑤ σ p = 0.67 σ m 로 설정하면 참값이 x avg – σ p 와 x avg + σ p 사이에 있을 확률이 50%가 됨
3. 측정값의 유효숫자
⑴ 필요성 : 모든 측정값은 근사값이므로 측정값은 효력이 있는 숫자, 즉 유효숫자만을 표시해야 함
⑵ 유효숫자 선택 규칙
① 0이 아닌 맨 왼쪽의 숫자가 최상 유효숫자임
② 소수점이 없을 경우에는 0이 아닌 맨 오른쪽의 숫자가 최하 유효숫자
③ 소수점이 있을 경우에는 맨 오른쪽의 숫자가 0이라도 이 수가 최하 유효숫자
④ 최상 유효숫자와 최하 유효숫자 간의 모든 숫자가 유효숫자
⑤ 예 : 밑줄친 부분만이 유효숫자
○ 994.29
○ 56 000
○ 0.00 48
○ 6.000
○ 800.
○ 2.990 × 104
⑶ 유효숫자 계산 규칙 : 측정값들을 계산할 때 불필요한 계산시간의 낭비를 줄임
① 덧셈과 뺄셈 : 7.9와 0.1637의 합을 계산하면
○ 숫자 7.9는 소숫점 이하 두 자리에서는 유효숫자가 없으므로 0.1637을 그곳에서 자름 → 0.16
○ 7.9 + 0.16 = 8.06
○ 반올림 하여 소숫점 이하 한 자리가 되도록 하면 8.06 → 8.1
② 곱셈과 나눗셈 : 7.9와 0.1637의 곱을 계산하면
○ 7.9 × 0.1637 = 1.29323
○ 7.9는 유효숫자가 두 자리이고 0.1637은 유효숫자가 네 자리이므로 결과가 두 자리가 되도록 반올림하면 됨
○ 1.29323 → 1.3
4. 표준오차
⑴ 필요성 : 측정값들은 우연오차로 인해 어떤 분포를 이룸 → 이들을 대표할 수 있는 수치가 필요
⑵ 종류 1. 최빈값 : 가장 많이 나타나는 측정값
⑶ 종류 2. 중앙값 : 크기 순으로 자료들을 나열했을 때 중앙에 위치한 측정값
⑷ 종류 3. 평균값 : 측정값들의 산술평균
① N개의 측정값들을 x 1 , x 2 , ···, x N 이라 했을 때
② 만일 각 측정값 x 1 , x 2 , ···, x N 의 빈도를 각각 f 1 , f 2 , ···, f N 이라 했을 때
③ 분산(variance) σ2의 계산
④ 각 회당 한 물리량을 M번씩 측정하면, 매회 얻어지는 측정값에 대한 평균값과 표준편차는 달라짐
⑤ 표본평균 x avg 의 표준편차를 σ m 이라 하면 σ, σ m , N 사이에는 다음과 같은 관계가 성립
○ σ m 을 표준오차라고도 부름
⑥ 측정자료들로부터 보고할 측정값은 다음과 같음
x = x avg ± σ m
⑦ 일반 물리학실험에서는 신뢰계수를 50 %로 잡는 확률오차를 이용하여 측정값을 보고하는 것이 보통임
x = x avg ± σ p = x avg ± 0.6745σ m
⑧ 오차를 표기하는 방법
○ 절대오차 : σ의 형태로 보고
○ 상대오차 : σ／|x avg |의 형태로 보고
○ 퍼센트오차 : σ／|x avg | × 100의 형태로 보고
5. 오차의 전파
⑴ 예시 : 직육면체의 부피를 구하는 실험
① 경우 1. 1,000개의 부피에 대한 데이터를 얻어 평균값과 표준편차를 구하는 것
② 경우 2. 가로, 세로, 높이에 대한 각각의 평균값을 먼저 구하고 이 평균값들을 곱하여 부피를 구하는 것
③ 경우 2가 훨씬 편리하지만 오차가 누적됨
⑵ 오차의 전파 이론
① 어떤 물리량 z가 다른 물리량 x, y, ···의 z = f(x, y, ···)의 관계로 주어졌다고 가정
② x, y, ···의 측정으로부터 x avg , y avg , ···의 평균값(표본평균)과 σ x , σ y , σ z 의 표준편차들을 얻었다고 가정
③ z의 평균값 z avg
z avg = f(x avg , y avg , ···)
④ z의 표준편차 σ z
⑤ (∂f／∂x) 0 , (∂f／∂y) 0 , ···는 평균값 x avg , y avg , ···에서 계산한 편도함수들을 의미
⑶ 오차의 전파공식
① z = ax ± by
② z = axy
③ z = ax／y
④ z = axb
⑤ z = aebx
⑥ z = a log(bx)
⑷ 제언
① 유효숫자 계산 규칙은 오차의 전파공식으로부터 비롯된 것임
② 멱함수의 경우 지수가 클수록 전파되는 오차량도 커지므로 특히 정밀한 측정이 요구됨
6. 최소 제곱법
⑴ 최확값(most probable value) : 편차의 제곱의 합을 극소로 해주는 대표값
⑵ 최소 제곱법
① 한 양을 N번 되풀이하여 측정해서 측정값 x 1 , x 2 , ···, x N 을 얻었다고 가정
② 최확값을 x라 하면, 편차의 제곱의 합은 다음과 같음
③ 이를 x의 함수로 보고, 이 함수가 극소값을 갖는 조건은 다음과 같음
④ 이 경우 최확값은 평균값과 일치함을 알 수 있음
⑶ 다항식 추세선을 구할 때 자주 사용
입력 : 2019.04.13 01:28
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