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미분과 주식 by 다은 전 – Prezi
미적분학은 변화와 변화의 변화에 대한 내용이다. 커피의 온도가 식어가는 변화가 도함수 이고,. 이러한 변화의 곡선과 수식(지수함수, 로그 함수.
Source: prezi.com
Date Published: 1/5/2021
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투자에서 미분과 적분 – 네이버 블로그
이익 증가는 주가 상승으로 연결되고 이익 하락은 주가 하락으로 연결이 됩니다. 따라서 미분 포지션을 취한다면 보유하고 있는 주식의 이익은 무조건 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 8/2/2022
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수학과 시장분석 – 브런치
단순히 주식 차트만 놓고 판단하자면, 주가의 궤적을 나타내는 함수에서 특정 시점의 기울기, 즉 미분 값이 (-)에서 0으로 바뀌는 변곡점이 저점일 …
Source: brunch.co.kr
Date Published: 12/1/2021
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돈을 이끄는 미분과 통계 – 주식과 모의투자로 ‘경제수학’ 맛보기
기업이 주식을 발행하고 투자자가 이 주식을 산다면 기업은 돈을 … 이러한 두 재화의 교환비율은 무차별곡선을 미분함으로써 구할 수 있는데, 이와.
Source: steam.kofac.re.kr
Date Published: 2/25/2021
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“단시간에 사고팔기” 주식에서 초단타가 어려운 진짜 이유
주식시장이 호황인 지금도 자연현상과 다르게 도함수로 정확한 미래 예측이 불가능한 것이다. 워런 버핏이 아내에게 권한 투자법 적분으로 투자하라.
Source: fastpick.co.kr
Date Published: 5/23/2021
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:: 미분공식정리, 미분하는법 (미분 3분 요약 특강!) – zeke
“3분만에 미분을 아주 쉽게 이해할 수 있게 설명해놓은 포스팅입니다. … 직선의 경우라면, 미분한 결과는 ‘기울기’가 됩니다. … 어떤 주식의 그래프의 경우,.
Source: zekesnote.tistory.com
Date Published: 12/14/2022
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확률 미분방정식(SDE)을 이용한 주가 시뮬레이션
일반적으로 미분방정식이라 함은 한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 혹은 … 주식시장의 드리프트텀(확률적 추세)은 무위험이자율이고 나머지는 …
Source: darktrader.tistory.com
Date Published: 9/25/2022
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미분적분학을 모르면 주식투자를 해서는 안 된다 | YES24 블로그
소개. ▷ 미적분의 쓸모. ▷ 한화택. ▷ 더퀘스트. ▷ 2022년 05월 18일. ▷ 204쪽 ∥ 486g ∥ 161*230*18mm. ▷ 수학/미분적분학.
Source: m.blog.yes24.com
Date Published: 6/15/2021
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주제에 대한 기사 평가 주식 미분
- Author: 방구석애널리스트
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- Date Published: 2021. 3. 11.
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투자에서 미분과 적분
턴어라운드를 하니 바닥에서 10배 상승합니다. 급등에 대한 피로감 때문에 반토막 수준에서 횡보를 합니다. 주가는 횡보하지만 이익의 체력은 이전에 비하면 상당히 좋아졌습니다. 이익 레벨이 유지된다고 해서 주가가 상승하는 것은 아닙니다. PER보면 무지 저렴하지만 그것으로 주가가 상승하는 것은 아니죠.
하지만 최근 주가 흐름이 다시 상승으로 방향을 잡았습니다. 화성산업은 주가 하락으로 방향을 잡았구요. 이 둘의 차이는 이번 1분기 실적입니다.
제가 볼 때는 실적의 방항향성이 주가 방향성을 결정합니다. 따라서 미분으로 아니 단기적인 포지션으로 기업을 바라본다면 무엇을 봐야하는지 명백합니다
투자에서 아주 중요한 개념은 적분입니다. 적분은 면적을 합치는 개념이죠. 투자로 생각하면 BPS의 누적 속도입니다. BPS가 얼마나 빠른 속도로 쌍이느냐가 중요한 요소이고, 또하나 유념해야 하는 요소는 이 속도가 유지되는 것입니다. 한마디로 표현하자면 ROE의 수준, 유지 가능성으로 표현할 수 있습니다. ROE의 수준이 높을수록 BPS는 빠른 속도로 쌓이며 ROE에 변화가 없다면 시장이 지불하는 프리미엄에도 변화가 없을겁니다. 그렇다면 내가 어떤 가격을 지불하다러도 ROE만큼 복리 투자수익률을 기대할 수 있습니다.
수학과 시장분석
수학은 홍수로 나일강이 범람한 후 토지를 재분배하기 위한 수단으로 생겨났습니다. 이미 발생한 문제를 해결하기 위한 1차원적 필요에 의해 생겨난 것입니다. 그리스인들은 자연의 법칙에서 수학적인 규칙을 찾아내 다가올 일을 예측하고 대비하기 위한 수단으로 발전시켰습니다. 이후, 인도
상인들이 ‘0’이라는 숫자를 쓰기 시작하고, 아라비아의 수학자가 숫자와 기호로 수학적 규칙을 표현하기 시작하면서 체계화되어 왔습니다.
“단시간에 사고팔기” 주식에서 초단타가 어려운 진짜 이유
주식으로 돈을 버는 원리는 간단하다. 쌀 때 사서 비쌀 때 팔면 된다. 그런데 그게 그렇게 쉽지 않다. 먼 미래는 고사하고 내일 또는 한 시간 후의 주가를 예측하기 어렵기 때문이다. 정확한 예측은 고사하고 오를 것인지 내릴 것인지조차 가늠하기 어렵다.
주가는 자연현상처럼 연속적으로 변동하지 않으며, 단발적으로 일어나는 개별적인 매도매수 계약일 뿐이다. 도대체 어디로 튈지 모르고, 왜 그렇게 튀는지 이유도 알 수 없다. 시간이 지나고 나서야 여러 가지 이론으로 주가 변동의 이유를 설명할 수 있을 뿐이다.
초단타가 어려운 수학적 이유
단타란 짧은 시간 내에 사고팔아 차익을 챙기는 투자방법을 말하는데, 수학적으로는 미분을 이용한 투자다. 예상되는 주가변화율이 양이면 매수하고 음이면 매도한다. 이전 시간의 변화율을 연장해서 바로 다음 시간에도 동일한 변화율이 유지될 것으로 가정하는 것이다.
개인별로 기준으로 삼는 시간은 다르다. 하루 단위로 일봉을 보는 사람, 일주일을 단위로 주봉을 보는 사람, 길게 월봉을 보는 사람 등 자신만의 고유한 시간 기준이 있다. 또는 분 단위로 보는 초단타도 있다. 하지만 시간 간격을 아무리 잘게 쪼갠다 하더라도 자연현상처럼 연속적인 변화는 기대하기 어려운 것이 주가다. 미분의 시간 간격을 수학책에서 배운 대로 극한으로 보내면서 극초단타를 하는 경우도 있다고 하는데 증권매매 수수료나 버는지 모르겠다.
위의 그림은 2020년 말부터 2021년 초까지 삼성전자 주가 변동의 예다. 이동평균선도 함께 그려져 있다. 11월 이후 주가가 계속 상승했고, 특히 연말에 상승세가 더 컸다. 이러한 삼성전자 주가 이동평균선에서 기간을 어떻게 잡느냐에 따라서 기울기가 크게 달라진다. 11~12월 동안의 기울기보다 연말부터 연초까지의 기울기가 훨씬 크다. 그대로 연장하면 당장이라도 10만 원을 넘어설 것으로 보인다. 하지만 현실은 그렇지 못하고 오히려 9만 원 이하로 주가가 떨어졌다. 주식시장이 호황인 지금도 자연현상과 다르게 도함수로 정확한 미래 예측이 불가능한 것이다.
워런 버핏이 아내에게 권한 투자법 적분으로 투자하라
수많은 전문가는 주식이 변동성이 크기 때문에 안전하게 분산투자해야 한다고 말한다. 적립식 펀드 또는 정기자동매수 펀드는 약정한 매수 신청 금액만큼 가령 한 달 간격으로 주문 일자에 정기적으로 매수한다. 예컨대 동일 금액으로 주가가 높을 때는 적게 매입하고 주가가 낮을 때는 많이 구매하는 방법이다. 이런 종류의 펀드는 매수 시점이 분산되어 있기 때문에 변동하는 주가를 일일이 따라가지 않고 안정성을 유지할 수 있다. 매입 단가를 평균화하는 효과를 가지는데, 이를 코스트 애버리징 효과라 한다. 수학적으로 볼 때 적분을 이용한 투자다. 주가 변동이 연속적이거나 미분 가능하지 않아도 적분은 주가 변동을 누적하면서 평준화하는 역할을 한다.
시장 상승기에 가입 시 최초 목돈을 납입한 후 추가 납입이 불가능한 폐쇄형 펀드인 거치식 펀드에 비해서 적립식 펀드는 절반의 수익밖에 얻지 못한다. 하지만 하강기에는 손실을 절반으로 줄일 수 있는 장점이 있다. 또 2~3년 동안 분산투자를 하기 때문에 긴 호흡으로 시장의 변화를 따라갈 수 있다. 앞으로 몇 년간 경기가 조금이라도 좋아질 것으로 예상되는 경우 단기간의 변화에 일희일비하지 않고 안전하게 투자하는 방법이라 할 수 있다.
실제로 과거 10년이 넘는 기간 동안의 S&P500의 실적을 보면 더욱 분명해진다. 세계 주요 500대 기업의 주가는 등락을 거듭했지만, 어쨌든 경제는 꾸준히 성장했기 때문에 주가는 궁극적으로 상승해왔다. 따라서 과거 10년 중 어느 2년 동안을 떼어낸 기간의 평균 주가보다 만기 시 주가가 더 높은 것을 알 수 있다. 미국 경제가 발전할 것으로 믿는 한, 중간에 급락하는 기간이 있더라도 분산투자를 통하면 안전한 수익을 얻을 수 있는 것이다.
투자의 귀재 워런 버핏은 미리 작성한 유서에서 “유산의 10퍼센트는 국채 매입에, 나머지 90퍼센트는 S&P500 지수에 투자하라”고 했다. 가히 그럴 만 하다.
최근에는 미적분이나 다른 현란한 수학 이론보다 인공지능을 이용해 주가를 예측하는 것이 떠오르고 있다. 주가라는 것이 자연현상처럼 원리적으로 예측할 수 있는 것이 아니기 때문에 수년간의 축적된 데이터에 기반하여 예측하는 것이 현실적이고 더 정확할 수 있다. 실제로 카카오페이에서 AI가 관리해주는 펀드를 내놓고 있다.
인공신경망의 구조가 다르고 활용하는 입력 데이터의 종류나 분량이 다르기 때문에 결과적으로 나타나는 각 프로그램의 예측 정확도나 지능의 정도는 지켜봐야 할 일이다. 하지만 인공지능이 이제 주가 예측뿐 아니라 여러 분야에서 미분방정식을 대신하여 강력한 미래 예측의 도구로 자리잡고 있는 것은 분명하다. 복잡한 문제일수록 논리적으로 인과관계를 설명하기 어려워진다. 또 난해한 미적분방정식을 사람이 매번 직접 풀기도 어려우며, 풀더라도 현실에 잘 들어맞지 않는 경우가 종종 있다. 그런 의미에서 인공지능은 미래를 예측하는 강력한 방법으로 받아들여지고 있다.
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:: 미분공식정리, 미분하는법 (미분 3분 요약 특강!)
“3분만에 미분을 아주 쉽게 이해할 수 있게
설명해놓은 포스팅입니다.”
미분이란 무엇일까?
한 마디로 정의하자면 미분은,
“변화를 분석하는 것”
-이라고 할 수 있습니다.
다음과 같은 그래프를 통해 살펴봅시다.
이 곡선 위의 점 하나하나를 보면 수많은 화살표의 모임과 같을 겁니다.
→↗↗→↗
이런 식으로 움직였다면 이것들이 모여서 곡선의 형태가 된다는 것이죠.
직선의 경우라면, 미분한 결과는 ‘기울기’가 됩니다.
이런 곡선을 제트코스터 같은 놀이기구라고 생각해봅시다.
이 제트코스터에 탄 사람은 열차의 궤적에 따라 움직이겠죠.
이 궤도는 곡선의 형태로 끊임없이 구불구불 굽어 있기 때문에
매순간 그 점들의 방향과 속도가 바뀌게 됩니다.
자, 수학으로 다시 돌아와서요,
제트코스터의 한 시점처럼, 곡선 위의 점을 생각할 경우,
그 점의 다음 순간의 변화를 ‘순간기울기’라고 합니다.
즉, 순간기울기라는 말은 ‘곡선 위의 각 점들의 기울기’라는 말이 되겠죠.
제트코스터의 레일이 갑자기 뚝 끊겼다!
그 위에 달리고 있던 제트코스터는 어떻게 될까요?
그 방향으로 똑바로 날아갈텐데요,
수학적으로 보자면, 롤로코스터가 날아간 방향은 “곡선의 접선”이 되겠죠!
순간기울기, 다른 표현을 쓰자면,
곡선의 각 순간의 속도라는 말도 있겠죠.
이 말이 이해가 가시나요?
사실 이 것을 바로 수학적 용어로 “미분”이라고 부른답니다.
제트코스터의 레일은 마이너스값(음수)이 나올 수 없겠지만,
제트코스터의 순간기울기(속도), 즉 미분값은 마이너스값이 가능하겠죠?
이 점도 이해하고 넘어가야 할 점입니다.
계속 직진을 하는 그래프라고 하더라도 속도가 감소한다면, 미분값 또한 감소할테니까요.
그래프를 보고 속도값을 낼 수 있을텐데, 예를 들어 다음과 같이
상승-하강-상승-하강(↗↘↗↘) 이런 식으로 상태를 표시한 것을
“증감표”라고 합니다.
이런 점이 일상에서는 어떤 식으로 쓰일까요?
어떤 주식의 그래프의 경우,
계속 상승하고 있는 추세를 보이고 있다고 가정합시다.
이 주식을 더 매수해도 될까요?
만약 ‘기울기 그래프’ 즉, 기울기의 변화가 어떤지에 대한 정보를
하나 더 알 수 읶게 된다면 상황 판단에 더 도움이 되지 않겠어요?
기울기란 결국 ‘변화의 정도’를 나타내는 말이니까요.
이번엔 물리역학과 미분을 연관지어볼께요.
자이로드롭이 높은 곳에 위치해있다고 가정해봅시다.
하지만, 정작 떨어지지 않으면(위치E가 변하지 않으면), 속도는 0이겠죠.
속도가 없으면 가속도도 없을거구요.
이 위치E의 그래프를 생각해봅시다.
출발하지 않았다는 것은 기울기가 없다는 소리죠?
자이로드롭의 경우, 0이 된 건 뭐였죠? 속도죠.
자이로드롭이 떨어지는 경우, 기울기가 생기게 되면서 동시에 속도도 증가합니다.
즉, 정리해보자면,
위치 그래프의 기울기는 속도가 됩니다.
같은 의미에서, 속도 그래프의 기울기는 가속도가 되구요.
그러면 이제,
실제로 미분값을 어떻게 구하는지에 대해서 생각해보도록 해요.
기울기 구하는 공식이 뭐였죠?
세로 길이 / 가로길이
이것은 절대 불변의 원칙이죠.
직선의 경우, 이 방법을 통해 쉽게 구하겠지만,
곡선의 경우에는 이 “세로 길이 / 가로 길이” 값이 계속 변한다는 점에서,
이런 식으로 기울기를 구할 수 없다는 벽에 부딪치게 되죠.
자, 그럼 몇 가지 전제를 깔아봅시다.
빨간 점 A에서의 기울기를 구한다고 가정하고,
아무 것에나 점 두 개를 찍습니다.
“x값이 3,5일 때”라든지 정하는 것은 자유겠죠.
그 찍은 두 점을 잇는 선을 끝없이 점 A쪽으로 접근시키다보면,
결국 A에만 접하는 선이 보일 겁니다.
극한 개념 기억하시나요?
그런 극한의 개념을 동원해 한없이 가까이 접근시켜본 것입니다.
하지만,
‘아무리 접근해도 같은 값은 아니’기 때문에 이 값을 따로 “극한값”이라는 용어로 사용합니다.
이런 극한의 개념을 통해 점 A의 미분값을 구해내는 것이죠.
이제 이것을 수식화해봅시다.
위의 그래프를 적당히 라고 해봅시다.
그래프 위의 적당히 한 점 A 을 찍고,
거기서부터 h만큼 x값이 +된 상태의 점 B
두 점을 잡습니다.
이 때 직선 AB의 기울기는 “세로/가로”이므로,
B의 높이에서 A의 높이를 빼서 x값인 h만큼으로 나눠준 값이 됩니다.
위에서 미분값을 구하고자 했을 때, 어떤 한 점의 위치까지 접선을 이동시켰던 것 기억하시나요?
여기서도 그 방법을 써봅시다.
h값을 한없이 작게 만들어서 0에 극한 시키면 어떻게 될까요?
이 경우,
점 B가 점점 점 A로 접근해가면서 점 A에만 접한 접선의 기울기값을 구할 수 있을 거에요.
즉, 수식으로 표현한다면 아래의 형태가 되겠죠.
일반화 한다면 위의 수식은 결국 의 기울기가 되는데요.
a라는 것은 x값이 a일 때의 기울기를 의미하기 때문이죠.
첫번째 나온 미분 공식입니다.
를 미분하면 그 값은, 가 됩니다.
이 때 주의할 점은, h는 0에 한없이 가까운 값이지만 0은 아니므로 약분을 통해 제거해주어야 한다는 점입니다.
이 공식을 통해 어떤 함수의 한 점 (x,y)에서의 기울기를 구할 수 있습니다.
위의 함수 를 의 “도함수”라고 부릅니다.
“미분한다”라는 말은 “도함수를 구한다”라는 말과 같게 되죠.
도함수를 수식으로 표시할 때에는 , 혹은 로 쓰게 되고,
전자의 경우 “에프 프라임 엑스”라고 읽습니다.
이런 표기법은 라그랑주라는 학자에 의해 고안되었습니다.
하지만, 이 방법은 표기가 편하다는 장점을 갖는 대신에,
“무엇으로 미분하는가?”에 대해 명확하지 못하다는 단점이 있습니다.
변수가 항상 x 하나일 수는 없는 노릇이거든요.
그래서 새로 나온 방법이 라이프니츠가 고안한 표기법입니다.
, ,
이 세가지 경우인데요,
“y를 x로 미분한다”라는 뜻이죠.
(d는 미분을 의미하는 differential의 머리글자입니다.)
위와 같이 만들어지는 삼각형에서 가로의 길이를 dx , 세로 길이를 dy라고 한다면,
기울기는 dy/dx로 표현되겠죠?
라이프니츠의 표기법은 여기서 나온 표현법입니다.
이 경우, 를 의 형태로 표시하기도 하는데,
부분을 “x로 미분하라는 명령”으로 인식합니다.
특별히 이 명령을 전문용어로 ‘연산자’라고 하는데,
그래서 를 “미분연산자”라고 부릅니다.
기초적인 이론은 여기까지 하고, 이제부터는 실제로 문제에 적용할 수 있는 공식들을 유도해보려고 해요.
(P는 정수)
(P는 정수)
기본적으로 볼 것은 위의 3가지인데요, 차례로 살펴보려고 해요.
우선 “y=p”라는 상수함수를 생각해봅시다.
기울기가 없는 직선이죠?
그러므로 미분값도 0이 됩니다.
이 말을 수식으로 풀어놓은 것이 바로 (P는 정수)라는 표현이에요.
이어서 “y=px”라는 1차 함수를 행각해봅시다.
기울기가 변화없이 일정한 직선이죠.
그러므로 미분값도 일정한 값인 p가 됩니다.
이 말을 수식으로 풀어놓은 것이 바로 (P는 정수)라는 표현이구요.
마지막 은, 실험적으로 증명된 공식이에요.
덧셈과 미분은 어느 쪽을 먼저 해도 상관 없다는 말이죠.
한꺼번에 미분한 것과, 전개해서 미분한 것은 값이 동일하니, 안심하고 전개합시다!
미분 공식 중 가장 많이 사용되는 공식은 n승에 관한 공식과,
곱의 미분을 덧셈의 형태로 바꾸어 주는 공식입니다.
두번째의 경우를 잠깐 예를 들자면,
의 식을
무턱대고 전개한 후에 그 식을 다시 미분하는 것보다는 두번째 공식을 이용하여
의 형태로 가는 게
더 쉽고 빠르다는 거죠.
이 둘을 종합해놓은 것이 바로 “합성함수의 미분”입니다.
이런 것 어떻게 계산하시겠습니까?
전개해본다는 것만으로도 끔찍하죠..
이런 합성함수의 경우 (ax+b)을 임의의 문자 u로 치환시켜보겠습니다.
그렇게 변환된 f(x)인 y를, u로 미분하면, 그 값은 아래의 형태를 띄게 될 것입니다.
마찬가지로, “u=(ax+b)”를 x에 대해 미분하면 아래의 형태가 됩니다.
우리가 최초로 구하고자 하는 미분식은 입니다.
알고 있는 값은 , 이 둘이죠.
이 둘을 곱해주면 원래 구하기로 했던 미분값을 구할 수 있겠죠?
이런 방식으로 합성함수의 미분값을 구해낼 수 있습니다.
잡설로, 미분을 이용해 삼차함수의 그래프를 그리는 이야기를 해보자면요.
삼차함수를 미분하여 나온 식은 기울기에 관한 식이겠죠?
그 때의 값이 0이 되는 두 x값을 찾아내어 그 값을 중심으로 그래프를 그려주면 된답니다.
이 점을 특별히 변곡점이라고 부르고 이 때의 y값을 극값이라고 불러요.
확률 미분방정식(SDE)을 이용한 주가 시뮬레이션
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일반적으로 미분방정식이라 함은 한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 혹은 그 이상의 독립변수에 대한 도함수를 포함하는 방정식을 의미하며 이때 하나의 독립변수를 포함하는 방정식을 상미분 방정식이(ordinary differential equation)라 하고 이를 푸는 방법은 변수분리, 적분인자 등의 해석적 방법과 오일러, 룬게-쿠타 방법 등의 수치적으로 풀이할 수도 있다. 그런데 1개 이상의 독립변수가 확률과정을 가지는 재미난 현상을 모델링하기 위해 등장한 것이 바로 확률 미분 방정식(SDE : stochastic differential equation)이다.
예를 들어 쇠구슬을 3층에서 떨어뜨렸을 때 일정 시간 뒤에 물체의 낙하지점은 중력가속도를 이용한 미분방정식으로 풀 수 있고 수 차례의 반복실험에서도 같은(실험에 의한 오차는 있을 수 있지만) 결과를 얻을 수 있다. 바로 이렇게 산출된 방정식은 결정론적 모형이라고 한다.
그러나 비커에 물을 한 컵 채워놓고 거기에 꽃가루를 뿌리면 이 가루의 움직임은 위의 현상처럼 간단하게 구해지지가 않는다. 바로 물 분자의 우연한 변동에 의해 매번의 실험마다 서로 다른 결과값을 보이게 된다. 이렇게 애매한 운동을 모델링하기 위해 나온 것이 바로 확률론적 모형기법이고 대표적인 것이 브라운 운동(Brownian motion)인데 1827년 스코틀랜드 식물학자 로버트 브라운(Robert Brown)이 발견한, 액체나 기체 속에서 미소입자들이 불규칙하게 운동하는 현상이다. [위키백과]
그런데 이러한 브라운 운동은 수학적으로 매우 복잡할 뿐만 아니라 미분불가능하다. 다만 몇 가지 규칙에 의해 스칼라 및 벡터에 따른 이토 과정(위너 과정의 이토 적분으로 정의되는 확률 과정이다.[위키백과])을 통해 모수적 확률 미분방정식을 구할 수 있다. [참고 :R프로그램에 기반한 미분방정식의 이해 이재길 저 | 황소걸음 아카데미]
일반적인 확률 미분방정식의 확률과정은 아래와 같이 표현할 수 있는데(https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_differential_equation)
위 식을 해석함에 있어 한 가지 주의할 점은 아주 짧은 시간 사이에 확률과정 Xt의 변화는 기대값은 mu(xt,t), 분산은 sigma(x,t)^2 의 정규분포를 따르고 과거의 움직임과는 독립이라는 점이다. mu는 드리프트, sigma는 확산계수라 하며 이 방정식을 풀어서 얻어지는 확률적 과정 Xt는 통상 미래의 값은 과거가 아닌 현재의 값에 영향을 받는 마르코프적 성격을 가지고 있다. 그놈의 마르코프과정은 여러 군데 자주 등장하는데 지난번 포스트(2020.11.18 – [텐서플로우] – 강화학습으로 주식투자하기 – 이론적 배경)에서도 다루었으니 참고하면 좋을 듯 하다.
도대체 이딴게 퀀트(알고리즘 기반의 투자)와 무슨 연관이 있을까? 자 늘 그래왔듯이 실전으로 돌입해보자. 실전에서는 확률 미분방정식을 비교적 쉬운 방법으로 패키지만 설치하면 구현할 수 있는 R 을 이용할 예정이고 아래의 코드와 같이 패키지 yuima 를 이용해서 쉽게 풀어낼 수 있다.
#install.packages(“yuima”) library(yuima) #GBM(기하학적 브라운운동) : 주식 가격의 변동이 평균이 mu, 분산이 sigma 를 따른다고 가정. #주식시장의 드리프트텀(확률적 추세)은 무위험이자율이고 나머지는 변동성이라고 가정. #그렇다. 적어도 이 이론에 따르면 주식투자를 하면 은행금리만큼은 먹을 수 있다. #그런데 왜 내가 사면 내리고 내가 팔면 오를까하는 사람들은 우연적 변동에 자꾸 털려서 그렇다. #x나게 잘하던가 그것도 아니면 x나게 버티던가. 가지가지 하지말고 하나만 해라. 그러면 결국 길이 보일 것이니. mu<-0.01 #무위험이자율 1% sigma<-0.2 #삼성전자의 연평균 변동성 약 20%(일 표준편차를 구하고 *sqrt(250) 하면 대략 비슷하게 구해짐.) stock<-80200 stockModel=setModel(drift="mu*s",diffusion = "sigma*s",state.variable = "s", time.variable = "t",solve.variable = "s",xinit = stock) #앞으로 3년치 주가를 시뮬레이션하고 구간은 1일로 한다.(365*3~1000) stocksample<-setSampling(Terminal = 3, n=1000) output<-setYuima(model=stockModel,sampling = stocksample) stocksimul<-simulate(output,true.parameter = list(mu=mu,sigma=sigma)) plot(stocksimul) GBM을 이용한 삼성전자의 주가 시뮬레이션 그렇다. 굉장히 어려운 과정을 겪어서 몬테카를로를 수행했지만 이건 돌릴 때마다 다르다. 우연변동의 시뮬레이션이니까 그럴 수 밖에 없다. 그렇다면 이걸 왜 할까? 믿을 수도 없는데. 물론 무수히 많은 시뮬레이션 중의 하나인 어떠한 임의의 결과값을 그대로 받아들이기는 어렵다. 자 그러면 역으로 이제는 실제 히스토리컬 데이터를 이용하여 삼성전자의 과거 대수(log)차분의 분포를 한번 그려보자. #작업경로를 지정하는 명령어 setwd("") df<-read.csv("samsung_elect.csv", header=TRUE, na.strings = "") lndf<-diff(log(df$y)) plot(lndf) hist(lndf) 삼성전자의 log return 히스토그램 어라? 이거 어디서 많이 본거 같은데 라는 생각이 들 것이다.가우시안 분포[ 1/(2*pi*sigma^2)*exp{-(x-mu)^2/2} ]를 굉장히 많이 닮았다. 물론 정규분포에 대한 검증까지는 해보지 않았지만 단순히 과거 500거래일의 분포만 살펴보았는데도 어느 정도 유추는 가능하다. 당시의 경제상황, 글로벌 정세 등에 따라 위너프로세스의 움직임은 매번 다를 수 있지만 돌이켜 보면 정규분포 하더라까지는 성립할 수 있을 것이다. (금융시계열의 경우 비이성적과열로 인한 fat-tail이 자주 관측되기는 하지만 너무 디테일하게는 말고..) 바로 이런 점을 이용해서 블랙-숄즈, 머턴은 GBM을 이용하여 시장이 최소한 주식과 같은 최소한 하나의 위험자산과 단기금융, 현금, 채권과 같은 하나의 안전자산으로 구성되어 있다고 가정한 뒤 자산에 관해서는 다음과 같이 정의하여 옵션가격 결정모형을 유도해내고 당연히 그렇듯 노벨상도 탔다. (안전자산) 안전자산의 수익률은 변화가 없다 그러므로 '무위험 수익률'이라고 부른다. ( 랜덤워크 ) 주식가격의 순간 로그 수익률은 무한한 임의보행이다. 더 자세히 말하자면 기하학적 브라운 운동 을 따른다. [위키백과] 다음 포스트에서는 머턴모델을 R의 sde 패키지를 이용해 유도해보도록 하자. 728x90 반응형
미분적분학을 모르면 주식투자를 해서는 안 된다
◆ 소개
▷ 미적분의 쓸모
▷ 한화택
▷ 더퀘스트
▷ 2022년 05월 18일
▷ 204쪽 ∥ 486g ∥ 161*230*18mm
▷ 수학/미분적분학
◆ 후기
▷내용《中》 편집《上》 추천《中》
2006년 김래원 주연의 영화 『해바라기』에는 유명한 대사가 나오는데, 수학교사를 꿈꾸는 최희주가 오태식에게 “정확히 적분이 뭐야?”라고 묻자 “미분 거꾸로 하는 거라니까” 답한다. “미분 거꾸로 한 게 적분이라면 미분은 이해가 가는데 적분은 왜 이해가 안 가냐고?” 되묻자 “멍청한 거야. 나쁜 거고. 주변 사람들 힘들게 해.” 진담과 농담을 섞어서 대답한다. 나는 세상에 미적분학이 존재한다는 것을 이날 처음으로 알게 됐다. 나는 뼛속까지 순수한 문과다.
미적분학(微積分學, Calculus) 보다시피 순수 한국어가 아니며, 함수의 미분과 적분을 수학으로 다루는 학문이다. 처음 창시자는 뉴턴과 라이프니츠로 되어 있는데, 고등학생들은 그들에 대한 불만이 많다고 한다. 용어 대부분이 라틴어나 그리스어를 근원으로 하기에, 그들 이전부터 개념이나 철학적인 접근이 있었다고 보고 있다. BC 3세기 아르키메데스도 오늘날의 구분구적법과 흡사한 방법으로 평면의 넓이를 구하였다고 한다. 우리 문과생들은 아르키메데스의 이야기가 나오면, ‘유레카’라는 단어밖에 생각이 나지 않는다. 그래도 익숙한 이름이 나와서 다행이라 생각했다. 미분은 간단하게 공간을 아주 잘게 나누어 그냥 하나의 면이 되게 만드는 것이라고 한다. 적분은 반대로 선을 무한히 많이 더해서 면적을 만들고 무한하게 더해서 공간을 만드는 것이라고 한다. 수 세기 동안 적분과 미분은 상관관계가 없는 것으로 생각했었지만, 17세기 미분적분학의 기본정리가 등장하면서 복합 학문으로 거듭났다고 한다.
P.05 “수학의 눈으로 바라보면 세상의 변화가 한눈에 들어온다. 그중에서도 미적분은 세상의 변화를 설명하는 언어다. 특히 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회의 변화까지 선명하게 드러난다. 미분을 통해서 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분을 통해서 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다.”
P.143 “코로나19 일일 확진자와 누적 확진자의 차이, 미분에서 ‘상태량’과 ‘변화량’을 구별하는 것처럼 적분에서는 ‘합쳐지는 양’과 ‘합쳐진 결과량’을 구별해야 한다. 코로나19 확진자를 예로 들면, 일일 확진자와 누적 확진자의 차이는 같다. 일일 확진자는 합쳐서는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이다.”
P.225 “초단타가 어려운 수학적 이유, 그렇다면 자연현상이 아니라 다른 분야의 미래도 정확하게 예측할 수 없을까? 주식으로 돈을 버는 원리는 간단하다. 쌀 때 사서 비쌀 때 팔면 된다. 그런데 그렇게 쉽지 않다. 먼 미래를 고사하고 내일 또는 1시간 후의 주가를 예측하기 어렵기 때문이다. 《중략》 단타란 짧은 시간 내에 사고팔아 차익을 챙기는 투자 방법을 말하는데, 수학적으로 미분을 이용한 투자다.”
영화지만 고교중퇴 양아치도 감방에서 수학 교사에게 미분적분학을 배우게 된다. 문과·이과·예체능까지 모두 돈을 벌고 싶다는 마음은 같다. 부동산 투자, 주식투자, 암호화폐, NFT, 커피숍에 이르기까지 다양한 방법으로 돈을 벌고 싶다면 과거를 적분해야 현재 상황이 파악되고, 현재 상황을 미분하여 미래를 예측해야 투자 성공이 확률이 올라간다. 위 말에는 문과생들도 100% 동의할 수밖에 없을 것이다. 수학은 공식을 외워서 문제를 푸는 학문이 아니다. 수학을 낳은 것은 철학이며, 철학은 인간이 세계에 대한 지혜·원리를 탐구하는 학문이다. 즉, 세상의 변화를 설명하기 위해서는 미적분학적인 사고가 필요한 것이다. 책은 공식이 아닌, 언어학적으로 미적분학에 접근하여 설명한다. 책을 100% 이해하겠다는 것은 이과생에게도 어렵다. 하지만, 책이 말하는 생각의 방법을 이해하는 것은 세 번 읽으면 가능하다.
추천하는 독자
-투자나 창업으로 돈을 벌고 싶은 사람
“욕심은 있으면 열정이 따라오고, 열정은 뿌린 것을 거두게 한다.”
키워드에 대한 정보 주식 미분
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