당신은 주제를 찾고 있습니까 “프랙탈 실생활 – 부분과 전체가 동일한 모양으로 끊임없이 반복되는 프랙탈 구조 / YTN 사이언스“? 다음 카테고리의 웹사이트 https://you.maxfit.vn 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://you.maxfit.vn/blog/. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 YTN 사이언스 이(가) 작성한 기사에는 조회수 34,220회 및 좋아요 152개 개의 좋아요가 있습니다.
프랙탈 실생활 주제에 대한 동영상 보기
여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!
d여기에서 부분과 전체가 동일한 모양으로 끊임없이 반복되는 프랙탈 구조 / YTN 사이언스 – 프랙탈 실생활 주제에 대한 세부정보를 참조하세요
구름, 번개, 산봉우리, 사막등에서 찾을 수 있는 프랙탈.부분과 전체가 같은 모양으로 끝없이 반복되는 프랙탈 구조에 대해 알아본다.
[YTN 사이언스 기사원문] http://www.ytnscience.co.kr/hotclip/view.php?s_mcd=0083\u0026key=201708041713432174
프랙탈 실생활 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
우리 생활 속 프랙탈 by 희훈 박 – Prezi
다양한 프랙탈 모형들. 물을통해 프랙탈 알아보기. 코흐곡선. 프랙탈 도형의 일종으로 1904년 스웨덴 수학자 코르에 의해 발견. 되었으며 정삼각형을 이용해 만든 눈 …
Source: prezi.com
Date Published: 3/25/2022
View: 6043
[수학 이야기] 프랙탈과 닮음 – 네이버 블로그
프랙탈(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 만델 브로트(Benoit … 실생활에서 프랙탈이 사용되는 분야인 프랙탈 예술에 대해서도 알아볼까요?
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 11/9/2022
View: 388
생활속 수학이야기-프랙탈 – 매일신문
자기닮음은 대개 반복되어 나타는데 프랑스의 수학자인 망델브로(Mandelbrot:1924~)는 전체와 닮은 불규칙하고 조각난 모양에 프랙탈(fractal)이란 …
Source: news.imaeil.com
Date Published: 6/4/2021
View: 2289
프랙탈의 응용분야
프랙탈 아트, fractal art, 프랙탈, fractal, 카오스, chaos, 프랙탈 무비, 무비아트, 프랙털, 프렉탈.
Source: www.afractal.com
Date Published: 5/26/2021
View: 6408
프랙탈 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
이는 과학, 공학, 컴퓨터 예술에 적용되기도 한다. 자연계에서도 프랙탈 구조가 자주 발견되며 구름, 산, 번개, 난류, 해안선 및 나뭇가지 등이 여기에 해당한다. 프랙탈은 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 3/12/2022
View: 2685
프렉탈 이론 (fractal theory)을 연습하고 실생활에서 적용하기
프렉탈 이론 (fractal theory)을 연습하고 실생활에서 적용하기. 22세기 2008. 11. 23. 18:45. “프렉탈의 정의를 알아보면 아주 잘게 쪼개져 있는 것을 말한다.
Source: the22.tistory.com
Date Published: 11/6/2021
View: 8439
프랙탈과 무한수열에 관한 연구 – CHOSUN
도한다면 실생활과 연관 지어 수학을 이해하고자하는 현 교육과정이 추구하는 목적을 이룰 수 있다. 따라서 무한급수의 이론에 프랙탈을 이용한 학습방법을 제시하는 …
Source: oak.chosun.ac.kr
Date Published: 5/26/2021
View: 8573
(42)프랙탈-황홀한 눈꽃에 숨어있는 닮은꼴과 순환성 – 경향신문
우리나라는 봄, 여름, 가을, 겨울이라는 사계절과 겨울에는 삼한사온이라는 현상이 뚜렷했는데, 요…
Source: www.khan.co.kr
Date Published: 5/24/2022
View: 5798
[개념 기사] 프랙탈 – 수학동아 – 폴리매스
실제로 많은 프랙탈 도형에서는 정확한 형태의 자기유사성이 성립하지 않기 때문에, 프랙탈 이론에서는 하우스도르프 차원을 통해 프랙탈을 정의하고 분류 …
Source: www.polymath.co.kr
Date Published: 1/5/2021
View: 6964
주제와 관련된 이미지 프랙탈 실생활
주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 부분과 전체가 동일한 모양으로 끊임없이 반복되는 프랙탈 구조 / YTN 사이언스. 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.
주제에 대한 기사 평가 프랙탈 실생활
- Author: YTN 사이언스
- Views: 조회수 34,220회
- Likes: 좋아요 152개
- Date Published: 2017. 8. 6.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=bGhKj01mCLY
[수학 이야기] 프랙탈과 닮음
프랙탈 (fractal)
———————————————
이처럼 전체가 부분을 닮아 있는 모습들이 많은데요, 우리는 이러한 형태를 프랙탈이라고 합니다.
프랙탈(fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 형태
를 이야기합니다.
이는 ‘자기 닮음 도형’이라고 표현하는데요, 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형이라는 뜻입니다. 프랙탈(Fractal)이라는 용어는
1975년 브누아 만델 브로트(Benoit Mandelbrot)가 처음으로 사용
했습니다.
이 이후로 프랙탈 연구가 활발히 진행되어 왔고, 여러 사례들이 발견됐다고 합니다.
위에서 말씀드렸듯이, 나무의 작은 가지들은 확대해보면 전체 나무 모습과 거의 유사하다고 볼 수 있으니 나무도 프랙탈의 예라고 할 수 있겠죠! 그렇다면 프랙탈 도형을 또 어디에서 발견할 수 있을까요?
생활속 수학이야기-프랙탈
나뭇가지 하나를 집어들고 몇 걸음 뒤로 물러서 나무 전체를 바라보면서 공통점을 찾아보자.
자세히 들여다보면 아무렇게나 뻗어 있을법한 가지들 하나 하나가 규칙성을 가지고 가지 뻗기를 했다는 것을 발견할 수 있다.
고사리는 어떨까. 줄기부터 바라보면 역시 같은 방식으로 갈라져 있음을 볼 수 있다.
수학자들은 이처럼 전체에 속한 일부분이 전체와 닮아 있을 경우 자기닮음을 갖는다고 말한다.
자기닮음은 대개 반복되어 나타는데 프랑스의 수학자인 망델브로(Mandelbrot:1924~)는 전체와 닮은 불규칙하고 조각난 모양에 프랙탈(fractal)이란 이름을 붙였다.
이번에는 좀더 눈을 크게 뜨고 우리 주변의 프랙탈을 본격적으로 찾아보자.
겨울에 내리는 눈의 입자도 프랙탈 구조를 띤다.
눈의 결정은 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데 부분에 정삼각형을 그리고 다시 정삼각형의 밑변을 잘라내는 과정을 반복한 곡선(코흐 곡선)으로 표현할 수 있다.
습도, 기압, 온도 등의 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 구불구불하게 진행하며 가지치기를 하는 번개의 전파 모습도 일종의 프랙탈의 형태를 띤다.
전기의 방전 모양, 마른 땅의 갈라진 모양, 금속의 부식으로 생긴 선의 모양, 해안선의 꼬불꼬불한 모양, 허파의 모양, 신경망의 가지 모양 등에서 이런 프랙탈을 발견할 수 있다.
최적을 추구하는 자연의 본성은 이렇게 프랙탈과 잇닿아 있다.
이런 프랙탈 이론은 과학이나 예술 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.
프랙탈 도형을 수학적으로 만들어 보자. 먼저 이 정삼각형의 각 변의 중점을 이어 정삼각형 안에 작은 정삼각형을 그린다.
가운데 작은 정삼각형을 제외한 다른 변의 각 중점을 이어 다시 작은 정삼각형을 그린다.
이런 과정을 반복하면 정삼각형 안에 자신을 닮은 작은 정삼각형들이 생겨난다.
일부를 떼어내어 관찰하면 전체와 같은 구조를 가짐을 발견할 수 있다.
김현자(월곡초등 교사)
@프랙탈 > 참고 자료
참고 자료(Things to Read)
제 목 프랙탈의 응용분야 [ 2006-05-23 00:12:29 ] 글쓴이 @프랙탈 조회수: 10167 홈페이지 http://www.aFractal.com , Hit: 1636 프랙탈의 응용분야 프랙탈 개념에 가장 적극적인 관심을 표명한 분야는 지질학이다. 지진의 예측이나 석유 추출에 크게 도움이 되기 때문이다. 두 개의 프랙탈 모양을 가진 지면이 서로 단층이 되는 것을 연구함으로써 지진 예상이 보다 정확해질 것으로 기대되고 있다. 또한 석유회사들은 프랙탈 이론으로 땅 속의 석유가 매장된 위치를 찾아내고 유정으로부터 기름을 효과적으로 뽑아 올리는 기법의 개발을 시도하고 있다. 프랙탈 이론을 가장 구체적으로 활용한 분야는 컴퓨터 과학이다. 미국의 수학자 마이클 반즐리 교수는 컴퓨터 이미지 정보의 저장에 관련된 아주 주목할 만한 발견을 했다. 그에 따르면 이미지는 그것의 프랙탈 내용에 의하여 해석될 수 있으며 그 프랙탈 형식에 의하여 재구성될 수 있다는 것이다. 이 원칙에 입각하면 이미지의 압축이 가능하므로 이미지의 저장이나 전송에 필요한 데이터의 양을 상당한 수준까지 줄일 수 있다. 종래에는 이미지의 저장에 막대한 기억 용량이 요구되었으나 반즐리 교수의 방법에 의하면 종전의 1만분의 1에 해당하는 용량으로 동일한 이미지의 저장이 가능하다. 이미지 정보를 구성 요소에 따라 일일이 저장하는 대신에 반복적으로 나타나는 패턴을 분석하여 저장하기 때문이다. 이와 같은 방법으로 이미지의 전송이 가능하므로 인공위성에서 지구로 이미지 정보를 전송하는데 소요되는 시간과 비용을 대폭 감소시킬 것으로 보인다. 그 밖에도 단백질 표면의 분석, 금속의 미시적이고 깔쭉깔쭉한 표면 연구, 토양의 부식 모델 개발, 환율 변동이나 에이즈와 같은 전염병의 전파, 우주의 은하수 분포에 이르기까지 프랙탈 이론은 그 응용범위가 확대일로에 있다. 은하수의 경우 아직까지 이렇다 할 만한 연구 성과가 나오지 않았지만 그 분포에 있어 자기 유사성의 징후가 있는 것으로 보인다. 심지어 헐리우드에서는 프랙탈을 영화의 특수효과에 응용하여 공상 과학영화 제작을 시도하고 있다. 인체의 프랙탈 구조 프랙탈 이론의 응용사례 중에서 가장 논쟁의 소지가 많은 쪽은 아무래도 생리학이다. 미국 하버드 의대의 에어리 골드버거 교수는 인간의 신체에서 프랙탈 구조를 확인하고서 심장박동의 프랙탈 리듬이 심장의 건강성 여부를 가름하는 핵심지표라는 놀라운 주장을 했다. 말하자면 혼돈이 심장 기능의 건강을 알리는 청신호라는 것이다. 인간의 심폐기관, 혈관, 뇌의 신경조직은 모두 프랙탈 구조의 특성을 갖고 있다. 폐의 경우 가장 작은 공간 안에 가능한 한 많은 표면이 채워 넣어져야 한다. 동물의 산소 호흡능력은 폐의 표면적에 비례하기 때문이다. 전형적인 인간의 폐는 테니스 코트보다 훨씬 넓은 표면이 쑤셔 넣어져 있다. 폐가 프랙탈 구조를 갖고 있기 때문이다. 혈관 역시 대동맥에서 모세혈관에 이르기까지 가지를 쳐가는 모양이 프랙탈을 닮아 있다. 코흐의 눈송이가 무한한 길이의 곡선을 유한한 넓이에 밀어 넣고 있는 것과 똑같이 인간이 순환계는 거대한 표면을 제한된 부피 안으로 밀어 넣고 있다. 신체에서 혈액은 매우 중요하지만 공간은 제한되어 있으므로 프랙탈 구조를 갖게 된 것이다. 대부분의 조직에서 어떠한 세포도 혈관으로부터 서너 개의 세포를 건너뛰어 떨어져 있지 않음에도 불구하고 혈관이 신체의 공간을 크게 점유하지 않는 것은 프랙탈 구조 덕분이다. 혈관은 고작해야 인체의 5%를 점유할 따름이다. 만델브로트 표현을 빌리면 ‘베니스 상인의 신드롬’이다. 피를 한 방울도 흘리지 않고서는 단 1㎎의 살도 떼어 낼 수 없는 것이다. 「아주 특별한 과학 에세이」(이인식) 참고
3/5, 총 게시물 : 50 NO TITLE NAME DATE HIT 30 ‘벽지괴물’과 프랙탈 @프랙탈 2006-06-04 7049 29 자연의 수학적 언어, 프랙탈 @프랙탈 2006-05-31 10470 28 국경선 길이의 수학 @프랙탈 2006-05-31 13783 27 프랙탈, 숨쉬는 시민운동을 위하여 @프랙탈 2006-05-31 5184 26 혼돈의 질서 : 카오스 @프랙탈 2006-05-31 9822 25 복잡계 @프랙탈 2006-05-31 6678 24 수학…우주질서의 표상 @프랙탈 2006-05-31 6630 23 카오스를 다스린다 @프랙탈 2006-05-31 6552 22 코끼리와 프랙탈 @프랙탈 2006-05-24 6202 프랙탈의 응용분야 @프랙탈 2006-05-23 10167 첫 페이지 1 2 3 4 5 끝 페이지 이름 제목 내용
위키백과, 우리 모두의 백과사전
CollatzFractal
Julia island2
프랙탈(영어: fractal) 또는 프랙털은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다. 브누아 망델브로가 처음으로 쓴 단어로, 어원은 조각났다는 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’이다. 프랙탈 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상 공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조이다. 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있다. 복잡성의 과학은 이제까지의 과학이 이해하지 못했던 불규칙적인 자연의 복잡성을 연구하여 그 안의 숨은 질서를 찾아내는 학문으로, 복잡성의 과학을 대표하는 혼돈 이론에도 프랙탈로 표현될 수 있는 질서가 나타난다.
프랙탈은 수학적 도형으로도 연구되고 있다. 프랙탈 도형은 종종 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 재귀적이거나 반복적인 작업에 의한 반복되는 패턴으로 만들어진다. 대표적인 프랙탈 도형에는 망델브로 집합, 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형, 페아노 곡선, 코흐 곡선 등이 있다. 프랙탈은 결정론적이거나 추계학적일 수 있으며, 혼돈적 계와 연관지어 발생할 수도 있다.
프랙탈 기하학은 프랙탈의 성질을 연구하는 수학 분야의 하나이다. 이는 과학, 공학, 컴퓨터 예술에 적용되기도 한다. 자연계에서도 프랙탈 구조가 자주 발견되며 구름, 산, 번개, 난류, 해안선 및 나뭇가지 등이 여기에 해당한다. 프랙탈은 실용적인 목적으로 많이 사용되며, 현실 세계의 매우 불규칙한 물체들을 표현하기 위해서 쓰일 수 있다. 프랙탈 기법은 과학의 여러 분야에서는 물론, 기술적으로 이미지 압축 등에서도 사용된다.
역사 [ 편집 ]
프랙탈의 역사는 주로 이론적 연구에서 컴퓨터 그래픽의 현대적인 적용에 이르는 길을 따르며, 그 과정에서 몇몇 유명한 사람들이 공식적인 프랙탈 형태를 만들었다. Pickover에 따르면, 프랙탈의 수학은 수학자이자 철학자인 Leibniz가 반복적인 자기유사성을 생각했을 때인 17세기에 형성되기 시작했지만, 그는 직선만이 자기 유사라고 생각한 실수를 저질렀다. 그의 저서에서, Leibniz는 “fractional exponents(분수적인 지수)”라는 용어를 사용했지만, 기하학을 잘 알지 못하는 것을 아쉬워했다. 사실, 다양한 역사적 설명에 따르면, 그 이후로는 몇 명의 수학자들이 이 문제에 대해 고심했고, 그들에 의해 때로는 수학적 “괴물”이라고도 불리는, 낯설게 떠오르는 개념에 대한 저항으로 인해 불분명했던 작업들이 주로 이루어졌다. 결국, 1872년 7월 18일 Karl Weierstrass가 왕립 프러시안 과학 아카데미에서 오늘날 프랙탈이라고 간주될 수 있는 모든 곳에서 연속이지만 모든 곳에서 미분 불가능한, 비직관적인 특성을 가진 함수의 첫 번째 정의를 나타낸 것은 2세기가 지난 후였다. 또한 가산 지표가 커짐에 따라서 계차는 임의로 커진다. 그 뒤 1883년에 바이어 슈트라스의 강의에 참석한 Georg Cantor는 특이한 특성을 가지고 있었으며 지금은 프랙탈로 인식되는, 지금은 칸토어 먼지로 알려진 실제 선의 하위 집합들의 예를 출판하였다. 또한, 세기 말에 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레는 “self-inverse“ 프랙탈이라는 하나의 범주를 도입했다.
다음 중요한 발전 중 하나는 1904년에 온 것인데, 이 때, 푸앵카레의 아이디어를 확장하고 바이어 슈트라스의 추상적이고 분석적인 정의에 불만을 품은 헬 폰 코흐는, 지금은 코흐 눈꽃송이라고 불리는 비슷한 함수에 대해 손으로 그린 이미지를 포함한 더 기하학적인 정의를 내렸다. 또 다른 획기적인 사건은 10년 후인 1915년에 왔는데, 그 때 바츠와프 시에르핀스키는 그의 유명한 삼각형을 만들었고, 그 1년 후에, 시어핀스키의 양탄자를 만들었다. 1918년까지, 두 명의 프랑스 수학자, 피에르 파투와 가스통 쥘리아는, 독립적으로 연구했긴 했으나 복소수와 반복적 함수를 구조화하고, 더 나아가 끌개에 대한 아이디어를 제공하는, 현대에는 프랙탈의 특성으로 불리는 결과에 동시에 도착했다. 그 연구가 발표된 직후 1918년 3월에 펠릭스 하우스 도프는 프랙탈이라는 정의의 발전을 위해 “차원”의 정의를 상당히 확대하여 프랙탈들이 정수 차원이 아닌 차원을 가질 수 있도록 했다. 자기 유사 곡선에 대한 아이디어는, 그의 1938년 종이 평면이나, 공간 곡선 그리고 새로운 프랙탈 곡선과 유사한 부품들로 이루어진, 폴 레비에 의해 더 나아갔다.
다른 연구원들은 현대 컴퓨터 그래픽의 도움 없이, 초기 연구원들이 그들이 수동 그림으로 묘사할 수 있는 것에 제한되었기 때문에, 그들이 발견한 많은 패턴들은 간단하게 사람의 손으로 그리는 반복 작업들로 만들 수 있는 것들로 제한되었고, 그들이 발견한 많은 패턴의 의미를 시각화하고 높이 평가할 수단이 부족했다. (예를 들어, 쥘리아 집합은 간단한 그림들에 대한 반복적인 수행으로 시각화될 수밖에 없었다.) 하지만 브누아 망델브로가 리차드손의 초기 연구에서 나아간 “영국의 해안은 얼마나 길까? 프랙탈 차원과 통계학적 자기 유사성“와 같은 논문에 자기 유사성에 대해 쓰기 시작한 1960년대에 이러한 상황은 바뀌었다. 1975년에 만델브로는 “프랙탈”이라는 단어로 수백년에 걸친 사고와 수학적 발전을 굳히고, 인상적인 컴퓨터 건축 시각화로 그의 수학적 정의를 묘사했다. 망델브로 집합과 같은 그의 공식적인 이미지들은 많은 상상력을 사로잡았다; 그것들 중 많은 것들은 반복에 기초해서 만들어졌고, 프랙탈이라는 용어의 대중적인 의미로 이끌었다. 1980년 로렌 카펜터는 SIGGRAPH에서 프랙탈로서 풍경을 만들고 표현하는 소프트웨어를 소개하였다.
분류 [ 편집 ]
프랙탈을 네 가지 생성 기법에 따라 분류할 수 있다.
이들 중 기하학적 프랙탈만이 완벽한 자기유사성을 가지고 있다. 반면 망델브로 집합은 느슨하며, “통계적인” 자기 유사성을 가지고 있는데, 확대할 때마다 자기 자신의 모습이 변형된 형태로 나타난다. 또한, 프랙탈은 자기 유사성의 강도에 따라 두 가지로 나뉠 수도 있다.
준-자기유사적 프랙탈 (통계학적 프랙탈): 자기 유사성의 강도가 가장 낮은 것이며 자연에서 찾은 프랙탈처럼 부분과 전체가 대략적으로 비슷한 것이다.
(통계학적 프랙탈): 자기 유사성의 강도가 가장 낮은 것이며 자연에서 찾은 프랙탈처럼 부분과 전체가 대략적으로 비슷한 것이다. 완전-자기유사적 프랙탈(규칙적 프랙탈): 자기 유사성의 강도가 가장 높은 것이며, 부분과 전체의 모양이 정확하게 같다. 규칙적 프랙탈의 예로서 시에르핀스키 삼각형과 코흐 곡선이 있다.
시간매개형 프랙탈 [ 편집 ]
망델브로 집합과 쥘리아 집합은 아래 점화식으로 만들어진다. z n + 1 = z n 2 + c {\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c} 여기서 z와 c는 복소수이다. 쥘리아 집합은 정해진 c에 대해 위 점화식을 수렴시키는 z의 초기값을, 망델브로 집합은 정해진 z의 초기값에 대해 위 점화식을 수렴시키는 c를 의미한다. 발산 속도에 따라 점의 색을 다르게 한 그림을 그릴 수 있다.
z n + 1 = z n 2 + c ( z = x + y i , c = c 1 + c 2 i ) {\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c(z=x+yi,c=c_{1}+c_{2}i)} 에 대해 생각해보자.
M = { c | z n + 1 = z n 2 + c , lim | z n | < ∞ } {\displaystyle M=\left\{c~|~z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,\lim |z_{n}|<\infty \right\}} 의 초기값을 z = 0 + 0 i {\displaystyle z=0+0i} 로 하여 점화식을 반복하여 계산한다. 그 결과는 c {\displaystyle c} 값에 의존한다. 즉 c {\displaystyle c} 값에 따라 z {\displaystyle z} 가 하나의 값으로 수렴하기도 하고 여러 값 사이를 순환적으로 맴돌기도 하고 아주 큰 값으로 발산하기도 한다. 만델브로트 집합은 초기값을 z = 0 + 0 i {\displaystyle z=0+0i} 로 했을 때 z n + 1 = z n 2 + c {\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c} 을 발산시키지 않는 복소수 들의 모임이다. c {\displaystyle c} z {\displaystyle z} J = { z | z n + 1 = z n 2 + c , lim | z n | < ∞ } {\displaystyle J=\left\{z|z_{n+1}=z_{n}^{2}+c~,\lim |z_{n}|<\infty \right\}} 이라 한다. 쥘리아 집합은 충만한 쥘리아 집합의 경계이다. 만델브로트 집합과 쥘리아 집합의 관계 [ 편집 ] ① c ∈ C {\displaystyle c\in C} 가 만델브로트 집합이면, z n + c {\displaystyle z_{n}+c} 가 수렴하는 z {\displaystyle z} 는 충만한 쥘리아( K c {\displaystyle K_{c}} : filled in Julia set) 집합이다. ② c ∈ C {\displaystyle c\in C} 가 만델브로트 집합에 속하지 않으면, 비연결 쥘리아 집합 J c {\displaystyle J_{c}} 이다. ③ 쥘리아 집합은 충만한 쥘리아 집합의 경계이다. ④ 쥘리아 집합이 비연결이면 충만한 쥘리아 집합( K c {\displaystyle K_{c}} )과 쥘리아 집합( J c {\displaystyle J_{c}} )은 같아진다. ⑤ 만델브로트집합에서 나타나는 주기는 쥘리아 집합에서도 그대로 나타난다. ⑥ 만델브로트 집합은 한 개이지만, 쥘리아 집합은 여러 개이다. ⑦ 쥘리아 집합은 내부가 공집합이다. ⑧ 복소수 c ∈ C {\displaystyle c\in C} 에 대하여, 모든 쥘리아 집합은 각각 다르다. 반복함수계 [ 편집 ] 규칙적 프랙탈. 자연에서 찾을 수 있는 프랙탈의 경우 대부분 부분과 전체의 모양이 대략적으로 비슷할 뿐이나 반복함수계의 경우 전체와 부분의 형태가 완전히 일치한다. 무작위적 프랙탈 [ 편집 ] 통계학적 프랙탈. 기이한 끌개 [ 편집 ] 자기유사성이 핵심 개념인 프랙탈 이론은 위상수학 분야에 속하고, 초기조건의 민감성이 핵심인 카오스 이론은 미분방정식 분야에 속한다고 할 수 있다. 그런데 프랙탈 도형은 가까운 두 점이 가진 정보가 전혀 다르다는 점에서 초기조건의 민감성을 가지고 있고, 카오스 이론의 끌개는 프랙탈 구조를 가지고 있다는 점에서 서로 밀접한 관련을 가지고 있다. 프랙탈의 차원 [ 편집 ] 프랙탈에서의 차원은 자가복제를 하기 위해 필요한 도형의 숫자로 정의된다. 즉, 어떤 도형의 길이를 x배 크게 하였을 때 그 도형의 면적이 n배 증가한다면 그 도형의 차원은 log x n으로 정의된다. 하우스도르프 차원의 개념. 망델브로 프랙탈- M5 1024 쥘리아 프랙탈 - J3 3s 이에 따라 자연수가 아닌 차원이 존재할 수 있으며, 시에르핀스키 삼각형의 경우 프랙탈에서의 차원의 값은 log 2 3으로 나타난다. 자연에서 발견되는 프랙탈의 사례 [ 편집 ] 번개-Lightning in Zdolbuniv 자연에서 발견되는 프랙탈은 쉽게 찾아볼 수 있다. Mandelbrot SET -망델브로 집합 자연에서는 자기 닮음으로 표현될 수 있는 유한한 구조물들이 자주 발견된다. 번개: 번개는 같은 길을 반복해서 계단을 이루듯이 방전한다. 습도,기압,온도 등 여러 조건에 의해 복잡하게 경로가 결정되기 때문에, 일직선이 아니고 구불구불한 형태를 지닌다. 불규칙해 보이지만, 전체적인 모습과 가지 하나하나가 비슷한 구조를 이루고 있다. 즉, 자기닮음의 프랙탈 구조를 가지고 있다. 강줄기: 강의 부분과 전체는 닮았다. 나일강의 모습과 한강의 모습이 전체적으로 비슷하고, 어느 지역에서건 강의 모습은 비슷한 형태를 지닌다. 지류와 전체적인 강줄기의 모습은 닮았다. 수많은 비가 내리면서 산에 많은 분기점이 생긴다. 이 하나하나가 작은 강이 되어 큰 줄기로 만났다가 작은 줄기로 뻗어나가는 행위를 반복한다. 나무: 나무는 큰 가지가 나뉘면서 여러 가지가 생기고, 이 작은 가지에 또 여러 작은 가지들이 갈라 진다. 나무는 저마다의 프랙탈 차원을 가지고 있다. 이런 나무의 프랙탈 형태는 물과 영양분의 운반을 전체에 고르게 보내는 역할을 한다. 산호: 군체들이 응집을 통해 밖으로 성장하면서 바깥쪽으로 자라나는 표면에 물질이 연속적으로 쌓인다. 나무뿌리와 비슷한 원리로 프랙탈 차원을 가진다. 구름: 매우 균일한 프랙탈로, 뭉게구름의 경우 대략 1.35차원을 가진다. 무작위적으로 일어난 응결과정에서 생성된 구름은 생성된 물방울들이 주위 물방울들을 끌어모으면서 프랙탈의 형태를 띠게 된다. 로마네스코 브로콜리: 로마네스코 브로콜리가 자랄때 가시같은 모습으로 자라는데, 그 가시의 한 부분은 전체의 모습과 똑같은 자기 유사성을 보인다. 응용 분야 [ 편집 ] 프랙탈이나 혼돈 이론을 적용한 기술들은 인공 지능, 시뮬레이션, 우주 분야 등 다양한 분야에 응용되고 있을 뿐만 아니라 실험적 예술 등에도 적용되고 있다. 최근에는 렌더링 기술을 이용하여 부다브로같은 것도 이미지를 합성하여 만들수 있다. 프랙탈 시각예술 [ 편집 ] 프랙탈 예술의 예 프랙탈의 형태적 특징을 기하학적 조형성으로 이용하여 만든 디자인이다. 프랙탈의 성질은 형태적으로 '반복', '자기유사성', '회전'이며, 질서, 통일, 반복, 조화같은 기본적인 디자인 원칙하에 프랙탈의 형태적 특성이 나타난다. 프랙탈 디자인에서의 자기유사성은 기본적 형태요소의 크기를 늘리거나 줄이면서 배열되는 데에서 드러난다. 이런 기본형태요소는 끝없이 반복되며, 이 가운데서 통일성과 질서 조화를 보는 이로 하여금 느끼게 해준다. 프랙탈 디자인은 포토샵이나 일러스트 같은 컴퓨터 그래픽 툴로 만들 수 있다. 그래픽 툴로 프랙탈 디자인을 만드는 방법은 기본형태를 복사해서 크기를 점점 줄이거나, 점점 늘리면서 반복해서 확장시키는 것이다. 프랙탈 디자인이 적용된 대표적인 예로 존 마에다가 디자인한 Morisawa poster가 있다. 프랙탈 음악 [ 편집 ] Richard F.Voss와 John Clarke가 물질적인 소리 신호에 대한 수학을 연구하였다. 그들은 연구에서 파워 스펙트럼(노이즈) 중에서 주파수 변화량 f에 따라 1/f 특성을 가진 pink noise가 규칙적이면서도 불규칙적인 자연현상과 유사한 형태를 가짐을 발견하였다. 그래서 1/f 패턴을 갖는 음악을 프랙탈 음악이라 한다. Voss와 Clarke는 pink noise(프랙탈 음악)이 적절한 보통의 음악이 될 수 있다고 보았다. 프랙탈 음악도 자연에서의 프랙탈처럼 전체 구조와 유사한 작은 구조가, 전체 안에서 반복되는 특징을 갖고 있다. 프랙탈적인 공간 채움과 조화로운 음 연결도 프랙탈 음악의 특성이다. 최근에는 자연의 패턴을 음악으로 만들어 작곡하는 경우도 늘어났다. 프랙탈 음악에는 바흐가 작곡한 클래식부터 컴퓨터로 작곡한 현대 음악 등이 있다. 또 어떤 사람은 로키 산맥의 산봉우리의 높낮이를 음악으로 변환하여 그럴듯한 곡을 만들기도 하였다. 각주 [ 편집 ] 프랙탈과 카오스 , 안대영 ; 교우사 ; ISBN 978-89-8172-947-9(2015.3.5) , 안대영 ; 교우사 ; ISBN 978-89-8172-947-9(2015.3.5) 1 Fractal Geometry , by Kenneth Falconer; John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990) , by Kenneth Falconer; John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990) The Fractal Geometry of Nature , by Benoit Mandelbrot; W H Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (hardcover, September 1982). , by Benoit Mandelbrot; W H Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (hardcover, September 1982). The Science of Fractal Images , by Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe (Editor); Springer Verlag; ISBN 0-387-96608-0 (hardcover, August 1988) , by Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe (Editor); Springer Verlag; ISBN 0-387-96608-0 (hardcover, August 1988) Fractals Everywhere , by Michael F. Barnsley; Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0 , by Michael F. Barnsley; Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0 정재승의 과학 콘서트: 복잡한 세상, 명쾌한 과학, 정재승; 어크로스; ISBN 978-89-965887-3-3
프렉탈 이론 (fractal theory)을 연습하고 실생활에서 적용하기
” 프렉탈의 정의를 알아보면 아주 잘게 쪼개져 있는 것을 말한다.
사전적인 의미는 조각’ 혹은 ‘파편’을 의미하고 덧붙인다면 전체가 전체의 모양과 닮은 조각들로 나뉘어져 있다는 뜻이다.
비슷한 말이지만, 프렉탈의 개념은 조각나거나 가지 친 자연구조의 배열뿐 아니라 브라운 운동에서부터 커피 찌꺼기를 통해서 떨어지는 물방울 운동에 이르기까지 구조의 역동적인 성질들을 묘사하는데 사용될 수 있다. 프렉탈은 과학자들이 자연현상을 측정하는 데 사용할 수 있는 데, 예를 들면 전기를 전도하는 방식들을 연구하는데 사용할 수 있다. 그러나 수학에서의 프렉탈은 자연적인 물체에서는 실제로 발견할 수 없는 성질들을 가지고 있다. 무한히 되풀이해서 확대되면서도 똑같이 보이는 구조는 실제로 없다. 그럼에도 불구하고 프렉탈 모델은 적어도 한정된 범위에서실체와 비슷한 접근방법을 제공해 준다.
최근 프랙털 기하학에 대한 많은 이들의 관심이 점차 높아지고 있다. 특히 컴퓨터그래픽을 이용하여 다양한 프렉탈 구조를 창출, 매혹적인 시각매체로도 각광을 있다.
프렉탈은 1975년 만델브로트에 의해 가시화되기 시작했다. 프렉탈 이론은 단편적 이론뿐만 아니라 자연현상에 존재하는 비정규적 형상들의 혼돈스런 세계에 대한 ‘질서’를 탐구해 나가고 있다. 더욱이 다양한 과학 분야에 응용되면서 아름다운 프랙털 세계는 예술영역으로 확산되는 등 새로운 가치를 평가받고 있습니다. 물론 프렉탈로 모든 자연현상을 담아낼 수는 없겠지만 그 혼돈과 프렉탈의 새로운 개념이 폭넓게 이해되어질 때 혼돈과 질서가 공존되고 있는 자연계의 구석구석에 대한 아름다움을 더욱 새롭게 재현해 줄 것이다.
프렉탈의 예로서는 고사리 잎의 가지치기 모양, 구름의 무정형 패턴, 번개의 불규칙적 자취, 전기의 방전 패턴, 눈 따위의 결정의 성장 모습, 마른 진흙의 갈라짐 모양, 철 등 금속의 부식에 의한 금 모양, 혼돈 및 유체의 난류 패턴, 해안선의 꼬불한 모양, 허파/실핏줄/신경명의 가지구조, 불규칙적인 주가의 등락 패턴, 분자들의 무질서 운동, 우주 은하계의 포등 분자부터 천문학적 단위까지 모든 척도의 자연계의 비정규적 분포 현상들에서 나타난다.
이외같이 프렉탈 이론은 많은 자연현상의 기술에 응용되고 급속히 발전하고 있는 컴퓨터를 이용해 프렉탈은 시각적인 면에서 또한 높은 평가를 받고 있다. ”
출처 링크: http://www.gcomin.co.kr/data/436/F435098.html
[생활 속 수학이야기](42)프랙탈-황홀한 눈꽃에 숨어있는 닮은꼴과 순환성
우리나라는 봄, 여름, 가을, 겨울이라는 사계절과 겨울에는 삼한사온이라는 현상이 뚜렷했는데, 요즘은 그런 계절 현상이 많이 변하였다. 10월이 되어도 여름 날씨처럼 덥고, 가을이 오는가 싶더니 며칠이 지나지도 않아서 춥고 눈까지 온다. 사계절 중 가을은 이제 불과 며칠뿐인 모양이다. 12월이 되어서도 그다지 춥지도 않다. 이산화탄소가 많아지고 지구 온난화 현상이 지속되면서 우리나라 기후도 많이 변하고 있는 것이다. 우리나라의 대표 나무인 소나무도 더위 때문에 남쪽에서는 더 이상 자랄 수 없어서 수십 년 후에는 ‘남산 위의 저 소나무’란 애국가 가사를 고쳐야 할지도 모른다. 바다의 수온도 상승하는 바람에 많이 잡히던 물고기는 다른 데로 가 버리고 새로운 물고기가 잡힌다고 한다. 겨울에는 눈이 많이 왔었고 눈을 구경해 보지도 못한 동남아시아 사람들에게 그 많은 눈은 흥미 있는 볼거리이기도 했었다. 그런데 이제 눈이 많이 오지 않으니 그 훌륭한 관광 자원도 없어질 모양이다.
눈은 정말 신기한 존재이다. 눈이 오는 모습은 얼마나 아름다운가? 집 안에서 바라보기만 해도 아름답지만 밖에 나와서 하늘을 쳐다보면 내려오는 눈의 움직임이 정말 환상적이다. 눈을 밟으며 걸어갈 때 나는 뽀드득 소리는 얼마나 듣기 좋은가? 한라산이나 지리산에서 볼 수 있는 눈꽃은 황홀할 지경이다. 그러나 눈이 많이 와서 길이 막히고 조난당할 때는 눈이 원망스럽다. 눈이 녹을 때는 도로가 지저분하고 걸어다니기 불편하다.
그 눈이 어떻게 생겼는지 자세히 본 적이 있는가? 지나치듯 보았다면 올 겨울 눈이 왔을 때 자세히 관찰해 보라. 그런데, 눈의 모양을 설명하는 수학이 있다. 다음 그림을 보자.
먼저 정삼각형을 그린다. 이제 각각의 선분을 3등분하고 가운데 부분에서 바깥으로 작은 정삼각형을 그리고 밑의 선분을 지운다. 그러면 [그림1]과 같은 별 모양이 만들어진다. 각각의 작은 선분에서 같은 일을 반복한다. 그러면 눈과 같은 모양이 나온다[그림 2]. 이런 일을 계속[그림 3] 반복하면 아주 복잡하고 아름다운 모양이 나오게[그림 2] 된다[그림 3].
이 그림을 ‘코흐 눈송이’라고 하는데, 복잡하고 신비해 보이는 눈 모양은 이러한 간단한 작업을 계속 반복하여 얻어진 것이다. 코흐 눈송이는 프랙탈의 일종이다. 프랙탈이란 부분이 전체를 닮는 자기 닮음성과 순환성을 가지는 것으로, 1975년 만델브로트라는 프랑스 수학자가 만들어낸 새로운 기하학이다. 프랙탈은 쓰임새가 정말 많다. 번개가 치는 것이나 강의 흐름, 구름의 모양을 프랙탈로 설명하기도 하고, 주식값의 그래프도 프랙탈 현상이며, 우리 몸 속의 허파나 소화기관들은 프랙탈 구조를 가지며 언젠가 여기서 이야기되었던 맹거스폰지도 프랙탈 구조이다. 대학 입시를 위한 수학능력시험에서도 프랙탈과 관련된 문제들이 종종 출제되고 있다.
그런데, 프랙탈을 가만히 살펴보면 프랙탈에는 알 수 없는 어떤 문제를 해결하기 위해 내가 알고 있는 것을 이용하려는 생각이 반영되었다는 생각이 든다. 눈송이나 해안도로같이 복잡하고 잘 알 수 없는 모양을 내가 알고 있는 어떤 모양이나 과정을 무한히 반복하여 설명하는 것이기 때문이다. 그런 생각은 여러 곳에 적용된다. 예를 들어, 사다리꼴의 넓이를 구하는 공식을 알고 있는가? 공식을 모르더라도 상관없다. 만약 사다리꼴을 삼각형, 직사각형, 평행사변형 등 내가 구할 수 있는 도형으로 변형시킬 수 있기만 하면, 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있게 된다. 고등학교에서 배우는 적분이라는 것도 곡선 아래의 넓이를 구하는 것인데, 곡선 아래를 우리가 구할 수 있는 직사각형의 합으로 보고 구하려는 생각이라고 할 수 있다. 삼국지를 보면 제갈공명이 놀라운 지혜를 발휘해서 많은 전투에서 승리하는 이야기들이 나오는데, 자세히 살펴보면 한 가지 공통점이 있다. 즉 자신이 잘 알고 있는 곳으로 적을 유인하고 있다는 사실을 알 수 있다. 적은 잘 모르고 우리는 잘 알고 있는 지역에서 싸우면 지리의 이점을 살릴 수 있어서 적어도 지지는 않을 것이기 때문이다.
그러니 수학 문제를 풀다가 모르는 문제가 생겨도 당황하거나 좌절할 필요가 없다. 이 문제를 내가 풀 수 있는 문제로 어떻게 변형할까? 그렇게 문제를 바꿀 수만 있다면 그 문제는 해결된다. 아는 것으로 변형하거나 아는 것과의 관계를 찾아내는 것, 바로 이것이 문제일 뿐이다. 이런 생각은 수학 문제를 푸는 지혜일 뿐만 아니라 세상을 사는 지혜이기도 하다.
키워드에 대한 정보 프랙탈 실생활
다음은 Bing에서 프랙탈 실생활 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.
이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!
사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 부분과 전체가 동일한 모양으로 끊임없이 반복되는 프랙탈 구조 / YTN 사이언스
- YTN사이언스
- 프로그램
- 사이언스프로그램
- 무지개
부분과 #전체가 #동일한 #모양으로 #끊임없이 #반복되는 #프랙탈 #구조 #/ #YTN #사이언스
YouTube에서 프랙탈 실생활 주제의 다른 동영상 보기
주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 부분과 전체가 동일한 모양으로 끊임없이 반복되는 프랙탈 구조 / YTN 사이언스 | 프랙탈 실생활, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.