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선형은 수학에서 나타내는 1차식이나 1차 함수를 말합니다. 즉 선형이란 그래프의 형태가 1개의 직선으로 표현된다는 뜻입니다. 반면 비선형(非-선형, Nonlinear)은 1개의 직선으로 표현되지 않는 모든 형태를 말합니다.
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[결국은어휘력] 선형적 ↔ 비선형적 (나름 뜻 총정리…)
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- Author: 구조엔지니어김성용
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- Date Published: 2021. 1. 26.
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비선형해석의 이해 1탄
자연계의 현상은 정확히 말해서 모두 비선형현상이라고 볼 수 있습니다. 그러나, 미소변형의 범위내에서는 선형정적해석을 수행하는 것으로도 비선형정적해석과 거의 동일한 해석 결과를 얻을 수 있기 때문에 비선형성을 고려할 필요가 없습니다. 비선형정적해석은 선형정적해석에 비해 해석에 소요되는 노력과 시간이 큽니다. 그래서, 실무에서는 선형정적해석을 수행한 후 결과를 분석하여 추가적으로 비선형정적해석 수행 여부를 결정하는 것이 일반적입니다.
1. 비선형(Nolinear)이란 무엇인가? 선형(Linear)과 비선형(Nonlinear)의 차이점은 무엇일까요? 선형은 수학에서 나타내는 1차식이나 1차 함수를 말합니다. 즉 선형이란 그래프의 형태가 1개의 직선으로 표현된다는 뜻입니다. 반면 비선형(非-선형, Nonlinear)은 1개의 직선으로 표현되지 않는 모든 형태를 말합니다. 즉 1차 방정식으로 표현되지 않는 모든 형태를 비선형이라고 합니다.
위 그림에서 중요하게 보아야 하는 사항은 기울기 (a) 입니다. 선형은 1개의 일정한 기울기를 가지는 반면, 비선형은 1개 이상의 기울기를 가집니다. 즉, 기울기의 변화가 없는 것은 선형, 기울기가 임의의 조건에 의해 변한다면 비선형입니다.
일반적으로 선형정적해석의 기본 방적식은 다음식과 같습니다.
{F} = [K] X {U}
여기서 {F}는 하중 벡터, {U}는 변위 벡터 [K]는 강성 행렬(stiffness Matrix)입니다.
선형정적해석의 경우에는 강성행렬이 일정한 값을 가지는 하중과 변위의 관계식을 이용하여 해석을 수행합니다. 반면, 비선형현상을 포함하고 있는 구조물은 하중과 변위의 관계가 선형관계를 가지고 있지 않는 것을 의미합니다. 즉, 비선형성을 포함하고 있는 구조물의 기본적인 특성은 하중이 변함에 따라 구조 강성이 변한다는 것을 의미합니다.
그림 3 선형(Linear)과 비선형(NonLinear) 비교
2. 구조 강성이 변하는 주요 원인
구조의 강성이 변하는 주요 원인은 다음과 같은 3 가지 사항입니다 .
1) 기하비선형 (Geometric Nonlinearities)
변위 또는 회전량이 커짐으로써 하중의 작용 방향과 분포, 크기가 달라지는 문제
2) 재료비선형 (Material Nonlinearities)
하중이 가해짐에 따라 재질의 특성이 비선형성을 나타내는 문제
3) 경계비선형 (Change Status)
요소 간 경계 부분의 비선형이나 경계조건의 변화로 인해 생기는 접촉
상기의 3가지 사항이 구조물의 강성을 변화시키는 주요 원인이며, 이 3가지 사항 중 어느 한가지라도 포함되는 경우에는 비선형 해석을 수행합니다.
그림 4 비선형의 종류
3. 비선형정적해석이 필요한 경우
비선형정적해석이 선형정적해석 만큼 빠르고 쉽게 모형화하고 해석 조건을 설정할 수 있다면, 비선형정적해석의 수행여부를 결정할 필요는 없을 것입니다. 비선형정적해석은 선형해석에 비해 해석을 위한 절차가 복잡할 뿐 아니라, 올바른 결과를 얻기 위한 기법들을 익히는 데도 상당한 시간과 추가적인 노력들이 소요될 수 있습니다. 결론적으로 해석자나 설계자는 비선형정적해석을 수행해야만 하는 이유를 판단할 수 있습니다.
1) 정확한 최종 결과를 얻어야 하는 경우
선형조건을 고려한 경우와 비선형 조건을 고려한 경우의 차이
해석 초기의 비교 해석이나 경향 해석을 위해서는 재료의 비선형성이나 대변형을 무시한 해석을 수행할 수 있습니다. 그러나 설계 후반부에서 단순화하고 근사화했던 것들에 대해 의문을 갖게 되는 시점이 있을 수 있습니다. 제품의 안정성을 고려한다면 제품의 원형(Prototype) 제조 전에 적어도 한 번 이상의 비선형 거동을 검토하는 것이 필요합니다.
2) 접촉이 존재하는 모델의 경우
해석 중에 접촉이 발생한 Leaf Spring
완성품의 경우 대부분 부품들의 조합으로 이루어집니다. 부품 상호 간에 접촉하거나 미끄러짐 또는 떨어지는 효과들을 고려해야 하는 경우가 있습니다. 이런 거동을 정확히 확인하고자 하는 경우 비선형 해석이 필요합니다.
3) 유연한 부품의 대변형
얇은 구조물의 경우 대변형 효과를 고려하지 않는다면 극단적인 변형이나 응력을 유발할 수 있습니다. 박판(thin-walled) 구조물의 변형은 대변형 효과를 고려하는 경우 선형해석 결과의 1/5에 지나지 않습니다. 단순히 선형해석 결과만으로 이러한 변형의 감소를 예측하는 것은 불가능합니다.
4) 그 외 비선형 거동이 예상되는 경우
– 최대 응력이 재료의 항복응력과 유사한 경우
– 특정 부품이 정상적인 성능을 위해 의도된 대변형을 발생시킨 경우(철사로 묶은 부품, 스프링 등)
– 비정상적으로 높은 변형을 나타내는 경우-두 개의 표면 또는 곡선이 관통하는 경우
4. 맺음말
비선형에 대한 개념과 비선형의 종류, 비선형정적해석이 필요한 경우에 대해서 살펴봤습니다. 일정한 기울기로 수치가 변화하는 선형정적해석과 달리 비선형해석의 경우 곡선상의 기울기가 계속 변한다는 것을 이해하셨을 겁니다. 상대적으로 많은 반복 계산이 필요하기 때문에 해석시간이 길어지고 여러 가지 변수들도 고려되어야 하기 때문에 비선형해석이 필요한지에 대한 검토가 필요할 것 같습니다.
따라서 비선형해석의 이해 2탄에서는 비선형해석의 순서와 해석 전 고려해야 하는 사항들에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
[결국은어휘력] 선형적 ↔ 비선형적 (나름 뜻 총정리…)
전쟁할 때 전투가 벌어지는 지역을 연결한 가상의 선을 전선이라고 합니다. 반면 전선에서 뒤에 떨어져 있는 지역은 후방이라고 하고요. 후방은 전방(적과 바로 마주하고 있는 지역), 전선과 상대되는 말입니다.
옛날에 걷거나 말타고 싸울 때는 전선을 긋고, 전방과 후방을 구분할 수 있었습니다. 이렇게 전선을 그을 수 있는 전쟁의 양상을 선형전이라고 합니다. 하지만 현대전의 특성은 비선형전입니다. 비행기를 타고 특수부대를 후방에 떨어트리거나, 배를 타고 적의 뒤에 군대를 보낼 수 있기 때문입니다. 이렇게 되면 순식간에 후방이 전장이 됩니다. 심지어 요즘에는 사이버전도 하니 전선을 긋기가 더욱 어렵습니다. 이처럼 전선을 긋기도 어려울 정도로 전후방이 따로 없는 전쟁의 양상을 비선형전이라고 합니다.
선형(linear) vs 비선형(non-linear)
머리올리자
공부하다가 선형 비선형 얘기가 자주 나와 어렴풋이 알고 있던 걸 정리해보고자 한다.
< 선형(linear) >
이름에서도 알 수 있듯이 line 즉, 선형적이라는 것은 선과 관련 있다.
이는 직선처럼 똑바른 도형, 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상을 뜻한다.
이러한 성질을 갖고 있는 변환에 대하여 쓰는 용어
함수의 경우,
어떠한 함수가 진행하는 모양이 ‘직선’이라는 의미로도 사용.
선형은 어느 정도 예측이 가능
선형성(linearity)에 대한 정의는 다음와 같음
출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95%EC%84%B1
ex), 1차 함수의 경우
–> 원점을 지날 경우에 선형성을 가진다.
f(x) = 2x라고 가정하면
f(1+2) = f(1) + f(2) = 6이 성립하지만
f(x) = 2x + 1 이라고 가정하면
f(1) + f(2) = 5
f(3) = 7
로써 선형성이 성립하지 않는다.
< 비선형(non-linear) >
비선형은 출력의 변화가 입력의 변화에 비례하지 않는 성질.
독립변수와 종속변수 사이에 직선 또는 직접적인 관계가 없는 상황을 설명하기 위해 사용되는 용어.
[선형 관계]그래프에 그릴 때 직선 모양을 생성.
[비선형 관계]직선 대신 곡선을 생성.
연구하다보면 위에 예시든 것처럼 2x + 1 과 같이 선형성을 가지고 있지 않은 것도 선형으로 처리하는 것 같은데,
찾아보니 이는 독립 변수와 종속 변수가 선형 관계라서 그렇다고 한다.
이에 대해서도 따로 정리해봐야겠다.
참조
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95%EC%84%B1
https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_system
https://www.investopedia.com/terms/n/nonlinearity.asp
선형 함수(linea function)와 비선형 함수(non-linear function)의 차이!
공과대학을 입학하고 수업을 들을 때,
가장 많이 듣는 말 중 하나는 선형(Linearity)과 비선형(Non-linearity)일 것이다.
선형이라는 것은 직선이 아닐 지라도 직선의 특징을 가지고 있다는 것이고
여기서 말하는 직선의 특징은
중첩의 원리(principle of superposition)또는 선형성의 원리( Linearity principle )이다.
이런 선형성이라는 말은 함수에 적용이 될 수도 있고,
선형으로 결합되어있는 어떤 것에도 적용이 될 수 있다.
여기서 선형으로 결합되어 있다는 어떤 것중에 대표적인 예는 선형 상미분방정식일 것이다.
이것에 대해서는 먼저 선형함수에 대해서 설명을 하고 이후의 포스팅에서 설명하도록 하겠다.
먼저 아래와 같은 것이 선형함수이다.
위에서 적힌 것처럼 어떤 선형함수에 6을 집어넣었을 때의 함수값을
같은 함수에 1과 5을 넣었을 때의 함수값을 합한 값으로 알 수 있다.
위 선형함수의 대표적인 예로는 y=3x값은 것이 있고, 실제로 그래프를 그려보면 직선의 형태를 가진다.
이를 중첩의 원리라고 하며, 이는 선형함수를 예측가능하게 만들어 준다.
여기서 예측이 가능하다는 말은 매우 중요한 말로… 기억해두는 것이 좋다.
그리고 아래가 비선형함수의 예일 것이다.
위에서 보는 것처럼 비선형함수는 중첩의 원리가 성립하지 않으므로,
함수의 수식이 알려지지 않았을 때, 함수값을 예측하기가 매우 어렵다는 특징이 있다.
별로 어려운 함수는 아니지만, 비선형함수의 예 중 하나는 y=3×2이다.
이것도 역시 그래프를 그려보면, 직선이 아니란 것을 알 수 있을 것이다.
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