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삼각함수 Lv1 – tan 그래프 (탄젠트 그래프) (탄젠트 그래프 그리기도 안어려워요)
교재(개념 + 연습문제) : https://drive.google.com/file/d/1K344kwnjFqBZEyH0IGUbB5vQF-DedYqz/view?usp=sharing
연습문제 해설영상 : https://youtu.be/r1a18zsLajo
사인, 코사인 함수 그래프 그리기는 이제 쉬운데 말이야..
탄젠트 못그리는 당신을 위해 준비해봤습니다. ‘점근선’만 신경쓰시면 탄젠트 그래프도 어렵지 않아요.
가장 빠르고 쉽게 탄젠트 그래프 그리는 방법을 알려드리겠습니다.
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[수학I] 16. 삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 …
삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 개형(개념+수학문제). 꿈돌멩이 2020. 8. 11. 공유. 알리미. 초등학교 1학년 2학기 수학 학습지 연재 시작!
Source: calcproject.tistory.com
Date Published: 9/27/2021
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- Author: 사오수학
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- Date Published: 2021. 3. 24.
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삼각함수의 그래프 – tan 그래프
삼각함수 그래프 세 번째 tan의 그래프예요. tan의 그래프는 앞서 했던 sin, cos의 그래프와 많이 다릅니다. 그래서 주의해서 봐야 해요. 다른 함수의 그래프와 헷갈릴 일은 없으니까 어쩌면 다행이기도 하죠.
tan의 그래프를 그릴 때 조금 어렵다면 삼각함수의 사촌 격인 삼각비의 tan를 생각하세요. 그때 공부했던 내용을 참고하면 tan 그래프를 그리고 이해하는 데 도움이 많이 될 거예요.
각 그래프의 특징을 보고 실제로 그래프를 종이에 예쁘게 그리는 연습을 하세요. 종이에 여러 번 그리는 게 그래프의 특징을 좀 더 빨리 파악하고 외우는 데 많은 도움이 됩니다.
삼각함수의 그래프 – tan 그래프
[중등수학/중3 수학] – 예각의 삼각비, 0°와 90°의 삼각비 구했던 거 기억나죠? 그것과 비슷해요. 삼각비와 삼각함수는 한 끗 차이니까요.좌표평면 위의 단위원과 동경 가 만나는 점을 점 P(x, y)라고 하고 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 해보죠. 의 연장선과 x = 1이 만나는 점을 P'(x’, y’)이라고 하고요. 그리고 이때 동경 가 나타내는 각을 θ라고 해보죠.
△OPH ∽ △OP’H’이므로 (∵ x’ = 1)
tanθ는 동경 의 연장선과 x = 1의 교점 P’의 y좌표, 높이라는 걸 알 수 있어요. 이를 이용해서 tanθ의 그래프를 그려보죠.
θ = 0일 때 P’의 y좌표는 0이므로 tanθ = 0이에요.
θ가 1사분면의 각일 때 θ가 커지면 높이도 커지므로 tanθ도 커져요.
θ = 90° = 이면 직각이라서 그 값을 알 수가 없어요. [중등수학/중3 수학] – 0°와 90°의 삼각비에서 tan90°는 그 값을 정할 수 없다고 했잖아요.
θ가 2사분면의 각일 때 x = 1과 교점이 아니라 x = -1과의 교점의 높이로 구해야겠죠?
(∵ x’ = -1)
그래서 tanθ의 부호가 (-)예요. θ가 커지면 높이가 줄어들지만, 부호가 (-)이므로 tanθ는 커져요.
θ = 180° = π이면 높이 = 0이므로 tanθ = 0이지요.
θ가 3사분면의 각이면 θ가 커질수록 tanθ도 커져요. 이때 x’ = -1, y’ < 0이므로 tanθ > 0이지요.
θ = 270° = 이면 역시 tanθ는 값을 정할 수 없어요.
θ가 4사분면의 각이면 x’ = 1로 tanθ = y’ < 0이므로 θ가 커질수록 높이는 작아지지만 tanθ는 커져요. θ가 360° = 2π보다 커지면 위와 같은 내용이 반복돼요. 주기를 2π라고 생각할 수 있어요. 그런데 이 내용을 잘 보면 1사분면의 각일 때와 3사분면의 각일 때, 2 사분면의 각일 때와 4사분면의 각일 때의 변화가 같아요. 즉 주기가 π라는 걸 알 수 있죠. 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 tan(π + θ) = tanθ였어요. tan 그래프의 가장 큰 특징은 sin 그래프, cos 그래프와 달리 물결 모양이 아니라는 거예요. 그리고 모든 영역에서 값이 커져요. 전부 다 오른쪽 위로 향하고 있어요. 그리고 , …… 처럼 nπ + (n은 정수)일 때, 값을 정할 수 없다는 거죠. 그래서 정의역은 nπ + (n은 정수)가 아닌 모든 실수고 치역은 모든 실수예요. tan(-x) = -tanx이므로 원점에 대하여 대칭이에요. nπ + (n은 정수)일 때 값을 정할 수는 없지만, 그때의 값에 계속 가까워지고 있어요. 무리함수의 그래프에서 점점 가까워지는 선을 점근선이라고 했죠? x = nπ + (n은 정수)가 바로 점근선이에요. y = tanx 그래프의 특징 정의역 = {x|x ≠ nπ + (n은 정수)인 모든 실수}, 치역은 실수 전체의 집합 원점에 대하여 대칭 주기는 π 점근선은 x = nπ + (n은 정수) 함께 보면 좋은 글 삼각함수 그래프 그리는 법 - sin 그래프, 주기함수 삼각함수의 그래프 - cos 그래프 삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의, sin, cos, tan, 삼각함수 값의 부호 삼각함수 사이의 관계 삼각함수 각의 변환 총정리 정리해볼까요 y = tanx 그래프의 특징 정의역 = {x|x ≠ n π + (n은 정수)인 모든 실수}, 치역은 실수 전체의 집합 + (n은 정수)인 모든 실수}, 치역은 실수 전체의 집합 원점에 대하여 대칭 주기는 π 점근선은 x = n π + (n은 정수) 그리드형(광고전용)
tan함수와 cot함수 그래프 그리기 (탄젠트함수와 코탄젠트함수 그래프)
이번에는 tan함수와 cot함수의 그래프를 그려보겠다. (탄젠트함수와 코탄젠트함수)
tan(x) = sin(x) / cos(x) 이고
cot(x) = cos(x) / sing(x) 이다.
탄젠트함수의 그래프는 아래와 같다.
그리고 이번에는 탄젠트함수와 코탄젠트함수를 같이 그려서 비교해 보겠다.
탄젠트는 x=0에서 0에서 출발해서 무한대로 가지만, 코탄젠트 함수는 x=0에서 무한대에서 출발해서 0으로 진행한다.
두 함수 모두 주기가 π 이다. (sin함수와 cos함수의 주기는 2배인 2π 임)
탄젠트 함수는 원점에 점대칭 함수이고, 코탄젠트함수도 원점에 점대칭 함수이다.
그리고 탄젠트함수를 X축이나 Y축을 기준으로 뒤집어서 90도만큼 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하면 코탄젠트함수가 나온다.
따라서 아래의 정의 (3)이 성립한다.
이번에는 탄젠트 함수와 코탄젠트 함수를 좀 더 크게 그려보겠다.
(1) 탄젠트함수 그래프 ( y = tan(x) )
(2) 코탄젠트함수 그래프 ( y = cot(x) )
[수학I] 16. 삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 개형(개념+수학문제)
| 같이 보면 좋은 글
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| y= sinx의 그래프 (사인함수)
[정리] 사인함수 (y=sinx)의 특징사인함수 y=sinx
1. 정의역과 치역
– 정의역 : 실수 전체의 집합
– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }
2. 주기가 2π
sin(x) = sin(2nπ+x) (단 n은 정수)
3. 원점에 대하여 대칭
sin(x) = -sin(-x)
먼저 사인함수는 원점에 대하여 대칭인 함수로, 실수 전체에 대하여 2π마다 함숫값을 같이 합니다.
원점 (0,0), (π/2, 1), (π,0), (3π/2,-1)을지납니다.
| y= cosx의 그래프 (코사인함수)
[정리] 코사인함수 (y=cosx)의 특징코사인함수 y=cosx
1. 정의역과 치역
– 정의역 : 실수 전체의 집합
– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }
2. 주기가 2π
cos(x) = cos(2nπ+x) (단 n은 정수)
3. y축에 대하여 대칭
cos(x) = cos(-x)
4. y=sinx를 x축의 방향으로 -π/2만큼 이동하면 y=cosx와 겹쳐짐
sin(x-π/2)=cosx
코사인함수는 사인함수를 x축의 방향으로 평행이동한 함수로, 정의역과 치역, 주기가 사인함수와 서로 같습니다.
다만, y=cosx는 (0,1), (π/2, 0), (π,-1),(3π/2,0)을 지납니다.
| y= tanx의 그래프 (탄젠트함수)
[정리] 탄젠트함수 (y=tanx)의 특징탄젠트함수 y=tanx
1. 정의역과 치역
– 정의역 : { x | x≠nπ+π/2인 모든 실수 (단, n은 정수) }
– 치역 : 실수 전체의 집합
2. 주기가 π
tan(x) = tan(nπ+x) (단 n은 정수)
3. 원점에 대하여 대칭
tan(x) = -tan(-x)
4. x=nπ+π/2를 점근선으로 가짐 (단, n은 정수)
탄젠트함수는 사인함수를 코사인함수로 나눈 값으로, 앞서 살펴본 두 함수와 다르게 주기가 π입니다.
그리고 정의역이 모든 실수가 아니며 오히려 치역이 모든 실수라는 특징을 가지고 있습니다.
탄젠트함수는 (0,0) (π/4, 1), (π/3,√3)등을
지납니다.
| 삼각함수의 응용형 y=asinbx+c꼴
삼각함수 y=asinbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.
1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.
2. 주기는 2π/b
삼각함수 y=acosbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.
1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.
2. 주기는 2π/b
삼각함수 y=atanbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.
1. 점근선은 x= (nπ+π/2)/b
2. 주기는 π/b
| 학습지 미리보기
| 첨부파일
2020SP H2-16.pdf 0.18MB
| 닫는 말
이번 학습지는 한 장에 다섯 문제로, 왼쪽에는 주기,치역,점근선을 써보고, 오른쪽에는 그래프를 그려볼 수 있습니다.
정답은 주기/치역/점근선만 제공하며, 그래프는 제공하지 않는다는 점 양해바랍니다.
감사합니다.
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