원 의 정의 | [초등 3학년 | 수학] 원의 중심, 반지름, 지름을 알아볼까요 | 원 | 중심, 반지름, 지름 | 도형 148 개의 정답

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원 (기하학) – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

기하학에서 원(圓, 영어: circle)은 평면 위의 한 점에 이르는 거리가 일정한 평면 위의 점들의 집합으로 정의되는 도형이다. 이러한 점을 원의 중심이라고 하고, …

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Date Published: 10/7/2022

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원(도형) – 나무위키:대문

원의 정의가 유클리드 평면상에서 주어진 한 점에서 거리가 같은 점들의 집합이라면 원판(disk)의 정의는 주어진 한 점에서 거리가 주어진 값 이하 …

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Source: namu.wiki

Date Published: 5/9/2022

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원의 정의

원이란 평면 위의 어떤 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 자취를 말한다. 원의 정의를 수식으로 표현하면,. 와 같다. 이 식은 xy평면에서 …

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Source: unolab.tistory.com

Date Published: 8/8/2021

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원의 방정식, 원의 방정식 표준형 – 수학방

원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 …

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Source: mathbang.net

Date Published: 3/9/2022

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원의 방정식의 정의

원의 방정식의 정의 · 수학Flash / YJaeWon / 2019. 1. 4. 07:30. 320×100. 원의 방정식의 정의입니다. 320×100. 반응형. 좋아요공감. 공유하기.

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Source: jwmath.tistory.com

Date Published: 2/7/2021

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원의 방정식에 대하여 알아보자. – 제이의 집

원이란 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 말한다. 이때 한 정점이 원의 중심이 되고 일정한 거리에 있는 점과 원의 중심을 잇는 선분은 …

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Source: houseofj.tistory.com

Date Published: 9/12/2021

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[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (14) 원의 정의와 방정식

원의 정의를 먼저 알아봅시다. 원은 한 고정된 점으로 부터 일정한 거리에 있는 점의 자취입니다. 한 고정된 점을 C(a,b)라고 하고, 이 거리로 부터 …

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Source: hsm-edu-math.tistory.com

Date Published: 3/4/2021

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원의 성질(2) – free한 블로그

2차원 평면 좌표계는 평평한 무한하게 뻗어있는 평면 상에 수직으로 만나는 두 직선을 축으로, 두 직선의 교점을 원점으로 정의하여 대상을 나타내는 …

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Source: kg-m-s-a-k-mol-cd.tistory.com

Date Published: 7/18/2022

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  • Date Published: 2020. 9. 20.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전

기하학에서 원(圓, 영어: circle)은 평면 위의 한 점에 이르는 거리가 일정한 평면 위의 점들의 집합으로 정의되는 도형이다. 이러한 점을 원의 중심이라고 하고, 중심과 원 위의 점을 잇는 선분 또는 이들의 공통된 길이를 원의 반지름이라고 한다.

원은 이차 곡선의 일종인 타원에서 이심률이 0인 경우이다.

용어 [ 편집 ]

현, 지름, 반지름, 할선, 접선

호, 활꼴, 부채꼴

원과 관련된 기본적인 용어들은 다음과 같다.

단위원 : 반지름이 1인 원

: 반지름이 1인 원 동심원 : 중심이 같은 두 원

: 중심이 같은 두 원 반원 : 중심각이 평각인 부채꼴(활꼴)

: 중심각이 평각인 부채꼴(활꼴) 반지름 : 원의 중심과 그 원 위의 점을 잇는 선분 또는 그 선분의 길이. 반지름의 길이는 지름의 2분의 1이다.

: 원의 중심과 그 원 위의 점을 잇는 선분 또는 그 선분의 길이. 반지름의 길이는 지름의 2분의 1이다. 부채꼴 : 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역

: 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역 사분원 : 중심각이 직각인 부채꼴

: 중심각이 직각인 부채꼴 원주 : 원의 둘레

: 원의 둘레 원주각 : 한 끝점을 공유하는 두 현이 원 내부에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 중심각의 1/2이다.

: 한 끝점을 공유하는 두 현이 원 내부에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 중심각의 1/2이다. 원판 : 원으로 둘러싸인 도형

: 원으로 둘러싸인 도형 원환 : 두 동심원으로 둘러싸인 도형

: 두 동심원으로 둘러싸인 도형 접선 : 원과 한 점에서 만나는 직선

: 원과 한 점에서 만나는 직선 접현각 : 원의 현과 현의 한 끝점에서의 접선이 이루는 각

: 원의 현과 현의 한 끝점에서의 접선이 이루는 각 중심 : 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점

: 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점 중심각 : 호의 두 끝점을 지나는 반지름이 호와 같은 쪽에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 원주각의 2배이다.

: 호의 두 끝점을 지나는 반지름이 호와 같은 쪽에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 원주각의 2배이다. 지름 : 원의 중심을 지나는 현 또는 그 길이. 길이는 반지름의 2배이다.

: 원의 중심을 지나는 현 또는 그 길이. 길이는 반지름의 2배이다. 켤레호 : 원의 합하여 원주 전체를 이루는 두 호

: 원의 합하여 원주 전체를 이루는 두 호 할선 : 원과 두 점에서 만나는 직선

: 원과 두 점에서 만나는 직선 현 : 원 위의 두 점을 잇는 선분

: 원 위의 두 점을 잇는 선분 호 : 원의 일부가 되는 곡선

: 원의 일부가 되는 곡선 활꼴 : 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역

: 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역 시: 할선의 중점을 수선의 발로 하는 선

역사 [ 편집 ]

기원전 5세기경 안티폰은 정다각형의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 니콜라우스는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.

해석적 성질 [ 편집 ]

둘레와 넓이 [ 편집 ]

원의 넓이는 색칠된 정사각형의 넓이의 π배이다.

r {\displaystyle r} π r {\displaystyle \pi r} r {\displaystyle r} 반지름의 길이가인 원은 무한히 작은 부채꼴들로 쪼개어 가로 길이, 세로 길이의 직사각형으로 만들 수 있다.

어떤 원의 반지름의 길이를 r {\displaystyle r} 라고 하고, 지름의 길이를 d {\displaystyle d} 라고 하면, 원의 둘레는

C = 2 π r = π d {\displaystyle C=2\pi r=\pi d}

이다. 여기서 π {\displaystyle \pi } 는 원주율이다. 이는 약 3.1415…를 값으로 하는 초월수이다.

어떤 원의 반지름의 길이를 r {\displaystyle r} 라고 하고, 지름의 길이를 d {\displaystyle d} 라고 하고, 둘레를 C {\displaystyle C} 라고 하면, 원(으로 둘러싸인 도형)의 넓이는

A = π r 2 = π d 2 4 = C 2 4 π {\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}={\frac {C^{2}}{4\pi }}}

이다. 등주 부등식에 따르면, 이는 둘레가 C {\displaystyle C} 인 닫힌 곡선으로 둘러싸인 도형이 가질 수 있는 최대 넓이이다.

방정식 [ 편집 ]

직교 좌표계 [ 편집 ]

(2, 1) 이고 반지름이 3인 원 중심이이고 반지름이 3인 원

2차원 직교 좌표계 위의 중심이 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 이고 반지름이 r {\displaystyle r} 인 원의 방정식은

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}

이다.[1] 이는 피타고라스 정리를 통해 유도된다.

2차원 직교 좌표계 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은

x 2 + y 2 + d x + e y + f = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0}

이다. 단, d , e , f {\displaystyle d,e,f} 는 실수이며,

d 2 + e 2 − f > 0 {\displaystyle d^{2}+e^{2}-f>0}

이어야 한다.[1] 좌변은 반지름의 4배에 대응하며, ‘=0’일 경우 한원소 집합이 되고, ‘<0'일 경우 공집합이 된다.[1] 평면 위의 모든 원은 적절한 직교 좌표계를 취했을 때 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 와 같은 표준적인 방정식으로 표현된다. 단, r > 0 {\displaystyle r>0} 이어야 한다. 이러한 꼴의 방정식을 얻으려면 원의 중심을 좌표계의 원점으로 삼기만 하면 된다.

2차원 직교 좌표계 위의 중심이 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 이고 반지름이 r {\displaystyle r} 인 원은 다음과 같은 매개변수 방정식을 갖는다.[1]

x = a + r cos ⁡ t y = b + r sin ⁡ t ( 0 ≤ t < 2 π ) {\displaystyle {\begin{matrix}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{matrix}}\qquad (0\leq t<2\pi )} 여기서 cos , sin {\displaystyle \cos ,\sin } 은 각각 코사인 함수와 사인 함수이고, t {\displaystyle t} 는 매개 변수이다. 극좌표계 [ 편집 ] 직교 좌표 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 대신 극좌표 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} 를 사용할 수도 있다. 즉, 극좌표계 위의 중심이 ( r 0 , θ 0 ) {\displaystyle (r_{0},\theta _{0})} 이고 반지름이 R {\displaystyle R} 인 원의 방정식은 r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( θ − θ 0 ) + r 0 2 = R 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\theta _{0})+r_{0}^{2}=R^{2}} 이다. 복소평면 [ 편집 ] 직교 좌표나 극좌표를 복소수 z {\displaystyle z} 로 대신하면, 원과 직선의 통일된 방정식을 얻을 수 있다. 복소평면 위에서, 중심이 z 0 {\displaystyle z_{0}} 이고 반지름이 r > 0 {\displaystyle r>0} 인 원의 방정식은

| z − z 0 | = r {\displaystyle |z-z_{0}|=r}

이다. 여기서 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 는 복소수의 절댓값이다.

또한 복소평면 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은

A z z ¯ + B ¯ z + B z ¯ + C = 0 {\displaystyle Az{\bar {z}}+{\bar {B}}z+B{\bar {z}}+C=0}

이다. 여기서 ¯ {\displaystyle {\bar {}}} 는 켤레 복소수이다. 단, A , C {\displaystyle A,C} 는 실수이고, B {\displaystyle B} 는 복소수이며,

| B | 2 − A C > 0 {\displaystyle |B|^{2}-AC>0} A ≠ 0 {\displaystyle A

eq 0}

이어야 한다. 또한, A ≠ 0 {\displaystyle A

eq 0} 대신 A = 0 {\displaystyle A=0} 을 취하고 다른 조건을 그대로 두면 복소평면 위의 직선의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다. 즉, A ≠ 0 {\displaystyle A

eq 0} 이라는 조건을 제거하고 다른 조건을 그대로 두면 일반화 원의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다.

접선의 방정식 [ 편집 ]

2차원 직교 좌표계 위에서, 원

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}

의 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} 을 접점으로 하는 접선의 방정식은

( x 0 − a ) ( x − a ) + ( y 0 − b ) ( y − b ) = r 2 {\displaystyle (x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}}

이다.

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}

의 기울기가 m {\displaystyle m} 인 접선의 방정식은

y − b = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 {\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}}

이다.

기하적 성질 [ 편집 ]

대칭 [ 편집 ]

원은 지름에 대한 반사와 원의 중심에 대한 회전에 대하여 대칭이다. [2] 즉, 원의 대칭군은 2차원 직교군 O ⁡ ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {O} (2,\mathbb {R} )}

임의의 두 원은 서로 중심 닮음이며, 동심원이 아닐 경우 두 원의 중심을 잇는 선분의 반지름의 비에 따른 내분점 및 외분점을 닮음 중심으로 갖는다.[3]

반지름의 길이가 같은 모든 원은 서로 합동이다. [4]

공선점이 아닌 세 점을 지나는 원은 항상 유일하게 존재한다. [4] 즉, 모든 삼각형의 외접원은 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 세 점을 지나는 일반화 원은 항상 유일하게 존재한다.

호와 현 [ 편집 ]

현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다. [2] 즉, 현에 수직인 지름은 현을 이등분한다. [2] 즉, 지름이 아닌 현을 이등분하는 지름은 현에 수직이다. [2]

지름은 원의 가장 긴 현이다. [4]

(방멱 정리) 원 위에 있지 않은 점 P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} P A ⋅ P B = P C ⋅ P D {\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD} [4]

원 위의 점과 현 사이의 거리와 지름의 곱은 점과 현의 양 끝점 사이의 거리의 곱과 같다.[3]

원과 직선의 위치 관계 [ 편집 ]

평면 위의 원과 직선의 위치 관계는 원의 중심에서 직선까지의 거리 d {\displaystyle d} 와 원의 반지름 r {\displaystyle r} 의 대소 관계에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.

만약 d > r {\displaystyle d>r}

만약 d = r {\displaystyle d=r} 접선이다.

접선이다. 만약 d < r {\displaystyle d R + r {\displaystyle d>R+r} d < | R − r | {\displaystyle d<|R-r|} 만약 d > R + r {\displaystyle d>R+r} 만약 d < | R − r | {\displaystyle d<|R-r|} 만약 d = R + r {\displaystyle d=R+r} d = | R − r | {\displaystyle d=|R-r|} 만약 d = R + r {\displaystyle d=R+r} 만약 d = | R − r | {\displaystyle d=|R-r|} 만약 | R − r | < d < R + r {\displaystyle |R-r|

원의 정의

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원의 정의

원이란 무엇인가?

우리가 처음 도형을 배울 때, 모양을 가지고 막연하게 세모, 네모, 동그라미 등을 배우게 된다. 그런데 수학은 이른바 ‘정의의 학문’이기 때문에, 원을 막연하게 ‘동그란’ 도형으로 파악하는 것은 적절하지 않다. 만약 그렇게 원을 이해한다면, 원과 관련된 여러 가지 성질을 탐구하는 데에 있어서 상당히 어려움이 뒤따르기 때문이다. 그렇다면 원의 정의에 대해 알아보자.

원 이란 평면 위의 어떤 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 자취 를 말한다. 원의 정의를 수식으로 표현하면,

와 같다. 이 식은 xy평면에서 원점 (0, 0)으로부터 일정한 거리 r만큼 떨어진 점들의 자취를 표현한 원의 방정식이다.

원의 정의의 의미를 자세히 알아보자. 먼저, 원은 평면에서 정의되는 도형 이다. 평면이라는 조건이 아니라면 공간상에서 구 역시 어떤 점에서 일정한 거리에 있는 점의 집합이 되어 성립하게 된다.

다음으로, 중심이과 반지름이 있어야 한다 . 정의를 보면 ‘어떤 점에서’ 라는 것이 있는데, 이 점은 원이 정의되기 위해서는 반드시 필요한 원의 중심 이다. 한편, ‘일정한 거리에 있는’ 이라는 것이 있는데, 이 거리는 원이 정의되기 위해서는 반드시 필요한 원의 반지름 에 해당한다.

r=1인 경우, 원의 중심과 반지름

한편, 원 위의 임의의 두 점을 이은 선분을 현이라고 한다. 어떤 원의 현 중에서 가장 긴 경우는 중심을 지나는 경우이다. 이 현을 지름이라고 하는데, 지름의 길이는 반지름의 길이의 2배이다.

r=1인 경우, 원의 현과 지름

끝으로, 원은 자취라는 점이다. 여기서 자취는 어떤 일정한 성질을 만족하는 점들의 집합으로 이루어진 도형을 말한다. 자취라는 것이 ‘점들의 집합’이므로 원을 일종의 일정한 조건을 만족하는 점들의 집합으로 보아, 원을 xy평면에서

와 같이 집합의 표현을 사용하여 표현할 수도 있다.

이와 같이, 원의 정의와 관련된 내용을 알아보았다. 원을 정의하는 데에 필요한 원의 중심과 반지름을 알아보면서, 현과 가장 길고, 중심을 지나는 현인 지름, 그리고 그 지름과 반지름의 관계에 대해서 알아보았다. 더불어, 자취의 개념도 함께 알아보았다.

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원의 방정식, 원의 방정식 표준형

원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 있으면 돼요. 오히려 중학교 때 공부했던 원주각, 중심각 등보다 쉽다고 할 수 있죠.

직선의 방정식에서 표준형과 일반형을 공부했어요. 원의 방정식에도 표준형과 일반형이 있는데, 이 글에서는 원의 방정식 표준형을 알아볼 거예요.

원의 방정식 공식을 유도하는 방법과 여러 문제에서 어떻게 원의 방정식을 구하는 지를 유형별로 알아보죠.

원의 방정식

원은 한 점(정점)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이에요. 이때 한 정점을 원의 중심이라고 하고, 같은 거리를 반지름이라고 하죠.

좌표평면에서 한 점 C에서 같은 거리(반지름. r)에 점을 그리고 임의의 점의 좌표를 P라고 해보죠. 반지름 r은 의 길이와 같아요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 C와 P 사이의 거리를 구해볼까요?

P는 임의의 점이니까 원 위에 있는 모든 점은 위 방정식을 만족해요. 이 방정식이 바로 원의 방정식입니다.

원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식

⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

만약에 원의 중심이 원점(0, 0)이면 x2 + y2 = r2이겠죠?

위와 같은 형태를 원의 방정식의 표준형이라고 해요. 이차함수에서도 직선의 방정식에서도 표준형이라는 용어를 사용했었죠? 표준형을 보면 반지름과 원의 중심을 쉽게 구할 수 있는 장점이 있어요.

다음을 보고 원의 방정식을 구하여라.

(1) 중심이 (3, 2)이고 반지름이 9인 원

(2) 중심이 (-1, 2)이고 (2, 6)을 지나는 원

(3) (-3, -5)와 (5, 9)을 지름의 양 끝점으로 하는 원

원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x – a)2 + (y – b)2 = r2이에요.

(1) 공식에 그대로 대입해보죠.

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 92

(2) 공식에 넣어보면 (x + 1)2 + (y – 2)2 = r2에요.

원의 방정식이 (2, 6)을 지나니까 이걸 식에 대입하면 r을 구할 수 있어요. 대입해보죠.

(x + 1)2 + (y – 2)2 = r2

(2 + 1)2 + (6 – 2)2 = r2

32 + 42 = r2

r2 = 9 + 16

r2 = 25

구하는 원의 방정식은 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25

(3) 중심과 반지름이 아니라 지나는 두 점을 알려줬네요. 그런데 두 점이 지름의 양 끝점이라고 했어요. 지름은 원의 중심을 지나는 직선으로 지름의 중점이 원의 중심이에요. 원의 중심을 구하면 (2) 번에서 했던 방법을 이용해서 r2을 구할 수 있어요.

원의 중심의 좌표를 (a, b)라고 한다면

원의 중심은 (1, 2)이니까 (x – 1)2 + (y – 2)2 = r2이네요. (5, 9)를 대입해보죠.

(x – 1)2 + (y – 2)2 = r2

(5 – 1)2 + (9 – 2)2 = r2

42 + 72 = r2

r2 = 16 + 49

r2 = 65

따라서 원의 방정식은 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 65

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정리해볼까요 원의 방정식 원: 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합

원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식

(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2

+ (y – b) = r 원의 방정식 표준형: 원의 중심, 반지름을 쉽게 구할 수 있다.

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원의 방정식에 대하여 알아보자.

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원의 정의

원이란 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 말한다. 이때 한 정점이 원의 중심이 되고 일정한 거리에 있는 점과 원의 중심을 잇는 선분은 반지름이 되는 것이다.

표준형 원의 방정식

중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 다음과 같이 말할 수 있다.

이것을 표준형 원의 방정식이라고 하며 유도하는 것은 어렵지 않다.

점(a, b)을 중심으로 같은 거리(r)에 있는 점의 자취니까 점(a, b)과 점(x, y)의 거리가 r이 나오는 식을 세우면 된다.

자취에 대한 자세한 내용은 아래 글을 참고하자

자취의 방정식에 대하여 알아보자.

중심이 (0, 0)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 a=0, b=0을 대입하면 된다.

일반형 원의 방정식

결론부터 말하면

표준형 원의 방정식에서 일반형 원의 방정식으로 바꾸는 다음과 같다.

간단한 치환만 몇 가지 하면 되는거라 방법이라 말하기도 그렇다.

아무튼 일반형 원의 방정식에서 원의 중심과 반지름은 아래와 같이 말할 수 있다.

증명방법은 단순하다. 일반형 원의 방정식을 완전제곱식으로 고치면 된다.

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[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (14) 원의 정의와 방정식

원의 정의와 방정식

원의 정의를 먼저 알아봅시다. 원은 한 고정된 점으로 부터 일정한 거리에 있는 점의 자취 입니다. 한 고정된 점을 C(a,b)라고 하고, 이 거리로 부터 일정한 거리를 r이라고 하겠습니다. 일정한 거리에 있는 점을 P(x,y)라고 하겠습니다. 일정한 거리 r을 ‘반지름’이라고 부릅니다.

고정된 점 : C(a,b)

일정한 거리 : r

일정한 거리에 있는 점 : P(x,y)

이 상황을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

양변을 제곱하면 원의 방정식의 표준형 이 됩니다.

(원의 방정식의 표준형)

중심이 원점이라면 a와 b는 0이 됩니다. 이 원의 방정식을 원의 방정식의 기본형 이라고 합니다.

(원의 방정식의 기본형)

원의 방정식의 표준형을 전개해봅시다.

아래와 같이 이항하겠습니다.

위 식에서 x의 계수를 A, y의 계수를 B라고 놓겠습니다. 나머지 상수를 C라고 놓겠습니다.

치환한 뒤 정리하면 아래와 같습니다. 이 원의 방정식을 원의 방정식의 일반형 이라고 합니다.

(원의 방정식의 일반형)

이번에는 반대로 원의방정식의 일반형을 완전제곱식으로 바꿔서, ‘조건’을 도출하겠습니다.

원이 되려면 위 식에서 반지름이 0보다 커야합니다. 따라서 아래 조건이 추가되어야 합니다.

(원의 방정식의 일반형)

원의 성질(2)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

이전 포스팅에서는 원과 원주각에 대하여 알아보았다. 여기에서는 좌표평면에서 원을 표현하는 방법에 대하여 알아볼 것이다.

과거부터 무언가를 정의하고 표현하는데 힘쓴 사람들이 많이 있었다. 도형 또한 마찬가지로 사람들의 언어와 수학적 용어들을 통해 표현되어 왔다. 처음에는 도형을 그리고 각 도형들의 성질을 이용하여 다른 여러 성질들을 증명하였다. 그러나 이는 각 도형간의 관계를 표현하는데 있어서 불편함이 있었고, 이후 한 철학자가 도형을 표현할 수 있는 새로운 방법을 고안해냈다. 이것이 바로 데카르트가 고안한 좌표평면이다 .

좌표평면

좌표평면은 유클리드 공간 상에서의 위치를 표현하는 좌표계 중 하나로 직교 좌표계 또는 데카르트 좌표계 라고도 부른다 . 자 이렇게 얘기하면 관련된 개념을 알지 못하는 사람은 당연히 뭔 소린지 이해하지 못한다. 여기서 뿐만 아니라 추후 포스팅에서도 2차원 평면 좌표계와 3차원 공간 좌표계를 주로 사용할 것이니 이 둘에만 국한하여 설명하도록 하겠다.

2차원 평면 좌표계는 평평한 무한하게 뻗어있는 평면 상에 수직으로 만나는 두 직선을 축으로, 두 직선의 교점을 원점으로 정의하여 대상을 나타내는 좌표계이다. 3차원 공간 좌표계는 2차원 평면 좌표계의 원점에서 2차원 평면 좌표계와 수직으로 만나는 한 직선을 새로운 축으로 정의하고 대상을 나타내는 좌표계이다. 이러한 방식으로 정의된 좌표평면은 기하를 대수적으로 표현할 수 있게 해 주었다. 다음 글에서 설명할 원의 방정식 또한 원을 대수적으로 표현한 것이다.

원의 방정식

원의 정의를 이용하여 원의 방정식을 유도해 보자.

$$ \text{점 A} \left( a \text{, } b \right) \text{에서 거리가 r인 점 P의 좌표를 } \left( x \text{, } y \right) \text{라고 하면} $$

$$ r = \sqrt{ \left( x-a \right)^{2} + \left( y-b \right)^{2} } \text{이므로} $$

$$ \text{점 P의 자취의 방정식은 다음과 같다.}$$

$$ \left( x-a \right)^{2} + \left( y-b \right)^{2} = r^{2} $$

$$ \therefore \text{원의 중심이 } \left( a \text{, } b \right) \text{이고 반지름이 r인 원의 방정식은} $$

$$ \left( x-a \right)^{2} + \left( y-b \right)^{2} = r^{2} $$

위 그림은 x, y의 값이 변화함에 따라 점 P의 위치 변화를 나타낸 것이다.

점 P의 자취를 나타내면 위와 같은 원이 나오게 된다. 여기서 점 P의 좌표를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ \left( r \cos{\theta} \text{, } r \sin{\theta} \right) $$

이렇게 좌표평면을 통해 나타내면 대수적인 표현을 통해 도형을 이해할 수 있게 되어 수식으로 관계 및 정리를 표현함에 있어 편리함을 얻을 수 있다. 필자는 좌표평면 상에서 그래프 등의 도형을 표현하는 능력은 고등학교에서 문제를 해결하는데 매우 중요하다고 생각한다. 특히 수능에서 미적분과 관련된 문제는 대체로 그래프를 잘 그리기만 해도 풀어나갈 방향을 찾는 경우가 허다하다.

나에게는 만물이 수학으로 환원된다.

-데카르트

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